Jak wygładzić dane i wymusić monotoniczność

Mam pewne dane, które chciałbym wygładzić, aby wygładzone punkty monotonicznie zmniejszały się. Moje dane gwałtownie spadają, a następnie zaczynają się wyrównywać. Oto przykład z użyciem R.

df <- data.frame(x=1:10, y=c(100,41,22,10,6,7,2,1,3,1))
ggplot(df, aes(x=x, y=y))+geom_line()

Jakiej dobrej techniki wygładzania mógłbym użyć? Byłoby również miło, gdybym mógł zmusić pierwszy wygładzony punkt do zbliżenia się do mojego obserwowanego punktu.

Można to zrobić za pomocą splajnowanych splajnów z ograniczeniami monotoniczności za pośrednictwem funkcji mono.con()i pcls()w pakiecie mgcv . Jest trochę do zrobienia, ponieważ te funkcje nie są tak przyjazne dla użytkownika gam(), ale kroki pokazano poniżej, oparte głównie na przykładzie z ?pcls, zmodyfikowane, aby pasowały do ​​podanych przez Ciebie danych przykładowych:

df <- data.frame(x=1:10, y=c(100,41,22,10,6,7,2,1,3,1))

## Set up the size of the basis functions/number of knots
k <- 5
## This fits the unconstrained model but gets us smoothness parameters that
## that we will need later
unc <- gam(y ~ s(x, k = k, bs = "cr"), data = df)

## This creates the cubic spline basis functions of `x`
## It returns an object containing the penalty matrix for the spline
## among other things; see ?smooth.construct for description of each
## element in the returned object
sm <- smoothCon(s(x, k = k, bs = "cr"), df, knots = NULL)[[1]]

## This gets the constraint matrix and constraint vector that imposes
## linear constraints to enforce montonicity on a cubic regression spline
## the key thing you need to change is `up`.
## `up = TRUE` == increasing function
## `up = FALSE` == decreasing function (as per your example)
## `xp` is a vector of knot locations that we get back from smoothCon
F <- mono.con(sm$xp, up = FALSE)   # get constraints: up = FALSE == Decreasing constraint!

Teraz musimy wypełnić obiekt, który przechodzi do pcls()zawierającego szczegółowe informacje o ograniczonym modelu ograniczonym, który chcemy dopasować

## Fill in G, the object pcsl needs to fit; this is just what `pcls` says it needs:
## X is the model matrix (of the basis functions)
## C is the identifiability constraints - no constraints needed here
##   for the single smooth
## sp are the smoothness parameters from the unconstrained GAM
## p/xp are the knot locations again, but negated for a decreasing function
## y is the response data
## w are weights and this is fancy code for a vector of 1s of length(y)
G <- list(X = sm$X, C = matrix(0,0,0), sp = unc$sp,
          p = -sm$xp, # note the - here! This is for decreasing fits!
      y = df$y,
          w = df$y*0+1)
G$Ain <- F$A    # the monotonicity constraint matrix
G$bin <- F$b    # the monotonicity constraint vector, both from mono.con
G$S <- sm$S     # the penalty matrix for the cubic spline
G$off <- 0      # location of offsets in the penalty matrix

Teraz możemy w końcu dokonać dopasowania

## Do the constrained fit 
p <- pcls(G)  # fit spline (using s.p. from unconstrained fit)

pzawiera wektor współczynników dla funkcji bazowych odpowiadających splajnowi. Aby zwizualizować dopasowany splajn, możemy przewidzieć na podstawie modelu w 100 lokalizacjach w zakresie x. Robimy 100 wartości, aby uzyskać ładną, gładką linię na wykresie.

## predict at 100 locations over range of x - get a smooth line on the plot
newx <- with(df, data.frame(x = seq(min(x), max(x), length = 100)))

Do generowania przewidywanych wartości używamy Predict.matrix()macierzy, która po pomnożeniu przez współczynniki pdaje przewidywane wartości z dopasowanego modelu:

fv <- Predict.matrix(sm, newx) %*% p
newx <- transform(newx, yhat = fv[,1])

plot(y ~ x, data = df, pch = 16)
lines(yhat ~ x, data = newx, col = "red")

Daje to:

Od ciebie zależy, czy dane zostaną uporządkowane w celu drukowania w ggplot ...

Możesz wymusić ściślejsze dopasowanie (aby częściowo odpowiedzieć na pytanie o płynniejsze dopasowanie pierwszego punktu danych) poprzez zwiększenie wymiaru funkcji podstawowej x. Na przykład ustawienie krówności 8( k <- 8) i ponowne uruchomienie kodu powyżej otrzymujemy

Nie można kznacznie zwiększyć tych danych i trzeba uważać, aby nie dopasować; wszystko, co pcls()robisz, to rozwiązanie problemu najmniejszych kwadratów podlegających karze, biorąc pod uwagę ograniczenia i dostarczone funkcje podstawowe, nie wykonuje dla ciebie wyboru gładkości - nie, że wiem o ...)

Jeśli chcesz interpolacji, zobacz podstawową funkcję R, ?splinefunktóra ma splajny Hermite i splajny sześcienne z ograniczeniami monotoniczności. W takim przypadku nie można tego jednak użyć, ponieważ dane nie są ściśle monotoniczne.

Niedawny pakiet oszustwa autorstwa Natalii Pya i oparty na pracy Pya & Wood (2015) „Modele z ograniczeniami kształtu” autorstwa Pya & Wood (2015) mogą znacznie ułatwić proces wspomniany w doskonałej odpowiedzi Gavina.

library(scam)
con <- scam(y ~ s(x, k = k, bs = "mpd"), data = df)
plot(con)

Istnieje wiele funkcji bs, których możesz użyć - powyżej użyłem mpd do „monotonicznego zmniejszania splajnu P”, ale ma także funkcje, które wymuszają wypukłość lub wklęsłość osobno lub równolegle z ograniczeniami monotonicznymi.