Rozkład odwrotności współczynnika regresji

Załóżmy, że mamy model liniowy który spełnia wszystkie założenia regresji standardowej (Gaussa-Markowa). Interesuje nas . $y_i = \beta_0 + \beta_1 x_i + \epsilon_i$ $\theta = 1/\beta_1$

Pytanie 1: Jakie założenia są konieczne, aby rozkład był dobrze zdefiniowany? byłoby ważne --- jakieś inne? $\hat{\theta}$ $\beta_1 \neq 0$

Pytanie 2: Dodaj założenie, że błędy mają rozkład normalny. Wiemy, że jeśli jest MLE, a jest funkcją monotoniczną, to jest MLE dla . Czy monotoniczność jest konieczna tylko w sąsiedztwie ? Innymi słowy, czy jest MLE? Twierdzenie o ciągłym odwzorowaniu mówi nam przynajmniej, że ten parametr jest spójny. $\hat{\beta}_1$ $g(\cdot)$ $g\left(\hat{\beta}_1\right)$ $g(\beta_1)$ $\beta_1$ $\hat{\theta} = 1/\hat{\beta}$

Pytanie 3: Czy zarówno metoda Delta, jak i bootstrap są odpowiednimi środkami do znalezienia rozkładu ? $\hat{\theta}$

Pytanie 4: Jak zmieniają się te odpowiedzi dla parametru ? $\gamma = \beta_0 / \beta_1$

Odkładając: problemu, aby dać aby bezpośrednio oszacować parametry. Wydaje mi się, że to nie działa, ponieważ założenia Gaussa-Markowa nie mają już sensu; nie możemy na przykład rozmawiać o . Czy ta interpretacja jest poprawna?

\begin{aligned} x_{i} & = \frac{β_{0}}{β_{1}} + \frac{1}{β_{1}} y_{i} + \frac{1}{β_{1}} ϵ_{i} \\ = γ + θ y_{i} + \frac{1}{β_{1}} ϵ_{i} \end{aligned}

$\begin{align*} x_i &= \frac{\beta_0}{\beta_1} + \frac{1}{\beta_1} y_i + \frac{1}{\beta_1} \epsilon_i \\ &= \gamma + \theta y_i + \frac{1}{\beta_1} \epsilon_i \end{align*}$

E [ϵ ∣ y]

$\text{E}[\epsilon \mid y]$

— Charlie
źródło

Czy „standardowe” założenia obejmują normalność czy nie?

ϵ_{i}

$\epsilon_i$

— whuber

Słuszna uwaga; Dodałem to założenie do części dotyczącej MLE. Jednak nie powinno to być konieczne dla innych.

— Charlie,

Rozkład próbkowania jest normalny, rozkład jest odwrotnością normalnej. Jest to bimodalny z rozbieżnym (nieskończonym) środkiem, bez względu na to, może być , i jest nieskończenie płaski przy 0. Metoda Delta będzie zatem okropna, zwykłe asymptotyczne przybliżenia MLE będą złe, a nawet bootstrap może być podejrzany.

β_{1}

$\beta_1$

θ

$\theta$

β_{1}

$\beta_1$

— whuber

@whuber, czy możesz to rozwinąć? Moja intuicja nie rozumie, jak odwrotność normalności powinna być bimodalna; zgaduję, że cała masa byłaby na odwrotności średniej wartości normalnej (tutaj ). Martwiłem się o nieskończoną średnią możliwość ze względu na masę bliską zera. Pasek startowy i asymptotyczne wyniki wymagają istnienia oszacowanych momentów, więc na tym ostatecznie opiera się to pytanie.

1 / {\hat{β}}_{1}

$1/\hat{\beta}_1$

— Charlie,

Plik PDF odwrotnej wartości normalnej to . Przy 0 wszystkie instrumenty pochodne są równe 0; znalezienie krytycznych punktów jego logarytmu identyfikuje tryb dodatni i ujemny (łatwy do obliczenia w kategoriach i ); całkarozbiega się jak całka z. Problem z nieskończonymi pierwszymi momentami wiąże się z odwrotnością dowolnej zmiennej losowej o dodatniej gęstości prawdopodobieństwa przy 0, która obejmuje wszystkie normalne.

\exp (- (1 / x - μ)^{2} / (2 σ^{2})) / (\sqrt{2 π} x^{2} σ) d x

$\exp(-(1/x-\mu)^2/(2\sigma^2))/(\sqrt{2\pi}x^2\sigma)dx$

σ

$\sigma$

μ / σ

$\mu/\sigma$

| x |

$|x|$

| x | / x^{2} = 1 / | x |

$|x|/x^2=1/|x|$

— whuber

Pytanie 1 Jeśli jest MLE z , to jest MLE z a jest warunkiem wystarczającym do zdefiniowania tego estymatora. $\hat\beta_1$ $\beta_1$ $\hat\theta$ $\theta$ $\beta_1 \neq 0$

Q2 jest MLE z według właściwości niezmienniczości MLE. Ponadto nie potrzebujesz monotoniczności jeśli nie musisz uzyskać jej odwrotności. W każdym punkcie wystarczy tylko . Możesz to sprawdzić w Twierdzeniu 7.2.1 pp. 350 „Prawdopodobieństwa i wnioskowania statystycznego” Nitza Mukhopadhyaya. $\hat\theta = 1/\hat\beta$ $\theta$ $g$ $g$

Pytanie 3 Tak, możesz użyć obu metod, sprawdziłbym również prawdopodobieństwo profilu . $\theta$

Pytanie 4 Tutaj możesz ponownie sparametryzować model pod względem interesujących parametrów . Na przykład MLE dla to i możesz obliczyć prawdopodobieństwo profilu tego parametru lub jego rozkład ładowania w zwykły sposób. $(\theta,\gamma)$ $\gamma$ $\hat\gamma=\hat\beta_0/\hat\beta_1$

Podane przez ciebie podejście jest nieprawidłowe, rozważasz „model kalibracji”, który możesz sprawdzić w literaturze. Jedyne, czego potrzebujesz, to zmiana parametrów pod względem interesujących parametrów.

Mam nadzieję, że to pomoże.

Z poważaniem.

— XMX
źródło

Dzięki za odpowiedzi. Nie mam książki, którą cytujesz, ale często te właściwości wymagają istnienia szacowanych momentów. Nie jestem pewien, czy odwrotność normy ma odpowiednie momenty. Powinienem był wyjaśnić tę kwestię w moim pytaniu.

— Charlie,