Jak sformalizować wcześniejszy rozkład prawdopodobieństwa? Czy istnieją zasady praktyczne lub wskazówki, których należy używać?

Chociaż lubię myśleć, że dobrze rozumiem pojęcie wcześniejszych informacji w bayesowskiej analizie statystycznej i podejmowaniu decyzji, często mam problem z otuleniem się o jej zastosowanie. Mam na myśli kilka sytuacji, które są przykładami moich zmagań i uważam, że nie zostały one właściwie omówione w bayesowskich podręcznikach statystycznych, które do tej pory czytałem:

Powiedzmy, że kilka lat temu przeprowadziłem ankietę, z której wynika, że 68% osób byłoby zainteresowanych zakupem produktu ACME. Postanawiam ponownie uruchomić ankietę. Podczas gdy będę używać tej samej wielkości próbki, co ostatnim razem (powiedzmy, n = 400), opinie ludzi prawdopodobnie się zmieniły od tego czasu. Jeśli jednak skorzystam wcześniej z dystrybucji wersji beta, w której 272 z 400 respondentów odpowiedziało „tak”, przywiązywałbym wagę do ankiety, którą przeprowadziłem kilka lat temu i tej, którą prowadzę teraz. Czy istnieje ogólna reguła, aby ustalić większą niepewność, którą chciałbym postawić na przeorze, ponieważ dane te mają kilka lat? Rozumiem, że mogę po prostu zmniejszyć liczbę uprzednich z 272/400 do, powiedzmy, 136/200, ale wydaje się to niezwykle arbitralne i zastanawiam się, czy istnieje jakaś forma uzasadnienia, być może w literaturze,

Na inny przykład, powiedzmy, że mamy zamiar przeprowadzić badanie kliniczne. Przed rozpoczęciem badania przeprowadzamy kilka badań wtórnych, które możemy wykorzystać jako wstępne informacje, w tym opinie ekspertów, wyniki wcześniejszych badań klinicznych (o różnym znaczeniu), inne podstawowe fakty naukowe itp. W jaki sposób można połączyć to spektrum informacji (niektóre z nich mają charakter nieilościowy) do wcześniejszego rozkładu prawdopodobieństwa? Czy to tylko kwestia podjęcia decyzji, którą rodzinę wybrać i sprawić, by była wystarczająco rozproszona, aby zapewnić, że dane zostaną przytłoczone, czy też jest wiele pracy włożonej w ustalenie wcześniejszej dość pouczającej dystrybucji?

— Phil
źródło

Zobacz stats.stackexchange.com/questions/1/…

— Tim

Twój pomysł, aby traktować swoje wcześniejsze informacje o 272 sukcesach w 400 próbach, ma dość solidne uzasadnienie bayesowskie.

Problem, z którym masz do czynienia, jak zauważyłeś, polega na oszacowaniu prawdopodobieństwa sukcesu $\theta$ eksperymentu Bernoulliego. Dystrybucja Beta jest odpowiednim „wcześniejszym sprzężeniem”. Tacy sprzężeni priory cieszą się „fikcyjną interpretacją próbek”:

Beta Prior to

π (θ) = \frac{Γ (α_{0} + β_{0})}{Γ (α_{0}) Γ (β_{0})} θ^{α_{0} - 1} (1 - θ)^{β_{0} - 1}

$\pi(\theta)=\frac{\Gamma(\alpha_0+\beta_0)}{\Gamma(\alpha_0)\Gamma(\beta_0)}\theta^{\alpha_0-1}(1-\theta)^{\beta_0-1}$ Można to interpretować jako informację zawartą w próbce wielkości

\underline{n} = α_{0} + β_{0} - 2

$\underline{n}=\alpha_0+\beta_0-2$ (luźno tak, jak

\underline{n}

$\underline{n}$ oczywiście nie musi być liczbą całkowitą)

α_{0} - 1

$\alpha_0-1$ sukcesy:

π (θ) = \frac{Γ (α_{0} + β_{0})}{Γ (α_{0}) Γ (β_{0})} θ^{α_{0} - 1} (1 - θ)^{\underline{n} - (α_{0} - 1)}

$\pi(\theta)=\frac{\Gamma(\alpha_0+\beta_0)}{\Gamma(\alpha_0)\Gamma(\beta_0)}\theta^{\alpha_0-1}(1-\theta)^{\underline{n}-(\alpha_0-1)}$ Dlatego jeśli weźmiesz

α_{0} + β_{0} - 2 = 400

$\alpha_0+\beta_0-2=400$ i

α_{0} - 1 = 272

$\alpha_0-1=272$ odpowiada to wcześniejszym parametrom

α_{0} = 273

$\alpha_0=273$ i

β_{0} = 129

$\beta_0=129$ . „Zmniejszenie o połowę” próbki doprowadziłoby do wcześniejszych parametrów

α_{0} = 137

$\alpha_0=137$ i

β_{0} = 65

$\beta_0=65$ . Przypomnijmy teraz, że wcześniejszą średnią i wcześniejszą wariancję rozkładu beta podano przez

μ = \frac{α}{α + β} i σ^{2)} = \frac{α β}{(α + β)^{2)} (α + β + 1)}

$\mu=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\qquad\text{and}\qquad\sigma^2=\frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}$ Zmniejszenie o połowę próbki pozwala zachować (prawie) wcześniejszą średnią:

alpha01 <- 273
beta01 <- 129
(mean01 <- alpha01/(alpha01+beta01))

alpha02 <- 137
beta02 <- 65
(mean02 <- alpha02/(alpha02+beta02))

ale zwiększa poprzednią wariancję od

(priorvariance01 <- (alpha01*beta01)/((alpha01+beta01)^2*(alpha01+beta01+1)))
[1] 0.0005407484

(priorvariance02 <- (alpha02*beta02)/((alpha02+beta02)^2*(alpha02+beta02+1)))
[1] 0.001075066

zgodnie z życzeniem.

— Christoph Hanck
źródło