Twierdzenie Bayesa z wieloma warunkami

Nie rozumiem, jak wyprowadzono to równanie.

$P(I|M_{1}\cap M_{2}) \leq \frac{P(I)}{P(I')}\cdot \frac{P(M_{1}|I)P(M_{2}|I)}{P(M_{1}|I')P(M_{2}|I')}$

To równanie pochodzi z pracy „Trial by Probability”, gdzie przypadek OJ Simpsona podano jako przykładowy problem. Oskarżony jest sądzony za podwójne zabójstwo i przedstawiono mu dwa dowody.

$M_{1}$ to zdarzenie, w którym krew pozwanego odpowiada kropli krwi znalezionej na miejscu zbrodni. to zdarzenie, w którym krew ofiary pasuje do krwi skarpety należącej do pozwanego. Przy założeniu winy, występowanie jednego dowodu zwiększa prawdopodobieństwo drugiego. jest przypadek, w którym oskarżony jest niewinny, podczas gdy wtedy, gdy jest winny. $M_{2}$ $I$ $I'$

Staramy się uzyskać PODSUMOWANIE prawdopodobieństwa, że pozwany jest niewinny, biorąc pod uwagę dwa dowody.

Podano wartości niektórych zmiennych, ale interesuje mnie to, w jaki sposób wyprowadzono równanie. Próbowałem, ale nigdzie nie dotarłem.

Tak, już sprawdziłem „Pytania, które mogą już mieć twoją odpowiedź”.

bayesian conditional-probability bayes

— Sakurabe
źródło

Jakie jest znaczenie ? Czy to ?

I^{'}

$I^\prime$

I^{c}

$I^\text{c}$

— Xi'an

@ Xi'an yes is w innej notacji

I^{'}

$I'$

I^{c}

$I^{c}$

— Sakurabe

Według twierdzenia Bayesa: Teraz dokument, który dostarczyłeś, dowodzi tego

\begin{aligned} P (I ∣ M_{1} \cap M_{2}) & = \frac{P (I) P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I)}{P (M_{1} \cap M_{2})} \\ = \frac{P (I) P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I)}{P (I) P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I) + P (I^{'}) P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I^{'})} . \end{aligned}

$\begin{align*}P(I\mid M_1\cap M_2)&=\frac{P(I)P(M_1\cap M_2\mid I)}{P(M_1\cap M_2)}\\&=\frac{P(I)P(M_1\cap M_2\mid I)}{P(I)P(M_1\cap M_2\mid I)+P(I')P(M_1\cap M_2\mid I')}.\end{align*}$

Jeśli to prawda, to i są niezależne. Ale zakładając poczucie winy, wystąpienie jednego zwiększyłoby prawdopodobieństwo drugiego. $I$ $M_1$ $M_2$

Więc i Stąd

\begin{matrix} (1) & P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I) = P (M_{1} ∣ I) P (M_{2} ∣ I), \end{matrix}

$P(M_1\cap M_2\mid I)=P(M_1\mid I)P(M_2\mid I),\label{eq1}\tag{1}$

\begin{matrix} (2) & P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I^{'}) = P (M_{1} ∣ M_{2} \cap I^{'}) P (M_{2} ∣ I^{'}) \geq P (M_{1} ∣ I^{'}) P (M_{2} ∣ I^{'}) . \end{matrix}

$P(M_1\cap M_2\mid I')=P(M_1\mid M_2\cap I')P(M_2\mid I')\geq P(M_1\mid I')P(M_2\mid I').\label{eq2}\tag{2}$

\begin{aligned} P (I ∣ M_{1} \cap M_{2}) & = \frac{P (I) P (M_{1} ∣ I) P (M_{2} ∣ I)}{P (I) P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I) + P (I^{'}) P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I^{'})} & (Substitute with (1)) \\ \leq \frac{P (I) P (M_{1} ∣ I) P (M_{2} ∣ I)}{P (I^{'}) P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I^{'})} & (Lesser Denominator) \\ \leq \frac{P (I)}{P (I^{'})} \cdot \frac{P (M_{1} ∣ I) P (M_{2} ∣ I)}{P (M_{1} ∣ I^{'}) P (M_{2} ∣ I^{'})} . & (Substitute with (2)) \end{aligned}

$\begin{align*}P(I\mid M_1\cap M_2)&=\frac{P(I)P(M_1\mid I)P(M_2\mid I)}{P(I)P(M_1\cap M_2\mid I)+P(I')P(M_1\cap M_2\mid I')}&& \text{(Substitute with \eqref{eq1})}\\&\leq\frac{P(I)P(M_1\mid I)P(M_2\mid I)}{P(I')P(M_1\cap M_2\mid I')}&& \text{(Lesser Denominator)}\\&\leq\frac{P(I)}{P(I')}\cdot\frac{P(M_1\mid I)P(M_2\mid I)}{P(M_1\mid I')P(M_2\mid I')}.&& \text{(Substitute with \eqref{eq2})} \end{align*}$

Aby wyprowadzić , zwróć uwagę na a ponieważ wystąpienie zwiększy prawdopodobieństwo : $\eqref{eq2}$

\begin{aligned} \frac{P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I^{'})}{P (M_{2} ∣ I^{'})} & = \frac{P (M_{1} \cap M_{2} \cap I^{'}) / P (I^{'})}{P (M_{2} \cap I^{'}) / P (I^{'})} \\ = \frac{P (M_{1} \cap M_{2} \cap I^{'})}{P (M_{2} \cap I^{'})} \\ = P (M_{1} ∣ M_{2} \cap I^{'}) \end{aligned}

$\begin{align*}\frac{P(M_1\cap M_2\mid I')}{P(M_2\mid I')}&=\frac{P(M_1\cap M_2\cap I')/P(I')}{P(M_2\cap I')/P(I')}\\&=\frac{P(M_1\cap M_2\cap I')}{P(M_2\cap I')}\\&=P(M_1\mid M_2\cap I')\end{align*}$

M_{2}

$M_2$

M_{1}

$M_1$

P (M_{1} ∣ M_{2} \cap I^{'}) \geq P (M_{1} ∣ I^{'})

$P(M_1\mid M_2\cap I')\geq P(M_1\mid I')$

— Francis
źródło

Chcę najpierw podziękować za poświęcenie czasu na pomoc. Ale wciąż jestem trochę zdezorientowany. Czy możesz dodać liczby równań i wskazać, gdzie stosujesz wcześniejsze równania w późniejszych podstawieniach? Rzeczy zaczynają mieć sens, ale wciąż nie dostaję nierówności po „i”, a część, w której zastępujesz mianownik, a całość staje się nierównością. Zgaduję, że wyjaśnienie, w jaki sposób cytowany argument z artykułu został przetłumaczony matematycznie, pomogłoby. Dzięki jeszcze raz!

— Sakurabe

@Sakurabe: lepiej?

— Francis

Okej, teraz rozumiem, jak dowody się wzmacniają. Ostatnie pytanie, czy właśnie usunęliśmy z mianownika? Jak w kropli bez twierdzenia czy czegokolwiek? Mam na myśli, że ma to jakiś sens, ponieważ nie odwróciłoby wynikającej z tego nierówności z (2), a ponadto założyłem, że zrobili to we wcześniejszym przykładzie w pracy z tylko jednym dowodem DNA (z +1 w mianowniku ). Dzięki, naprawdę doceniam twoją pomoc.

P (I) P (M_{1} \cap M_{2} | I)

$P(I)P(M_{1}\cap M_{2}|I)$

— Sakurabe

@Sakurabe: Tak, ponieważ ten termin jest nieujemny, więc porzucenie go zmniejszy mianownik.

— Francis