Dlaczego rozkład Poissona jest wybrany do modelowania procesów przybycia w problemach teorii kolejkowania?

Gdy weźmiemy pod uwagę scenariusze teorii kolejkowania, w których poszczególne osoby przybywają do obsługującego węzła i ustawiają się w kolejce, zwykle do modelowania czasów przybycia stosuje się proces Poissona. Te scenariusze pojawiają się w przypadku problemów z routingiem sieciowym. Doceniłbym intuicyjne wyjaśnienie, dlaczego proces Poissona najlepiej nadaje się do modelowania przyjazdów.

poisson-distribution intuition queueing

— Vighnesh
źródło

Odpowiedzi:

Proces Poissona obejmuje „bez pamięci” czas oczekiwania do przybycia następnego klienta. Załóżmy, że średni czas od jednego klienta do drugiego wynosi . Bez pamięci ciągły rozkład prawdopodobieństwa do następnego przybycia to taki, w którym prawdopodobieństwo oczekiwania na kolejną minutę, sekundę lub godzinę itp., Do następnego przybycia, nie zależy od tego, jak długo czekałeś od ostatniego . To, że odczekałeś już pięć minut od ostatniego przybycia, nie zwiększa prawdopodobieństwa przybycia klienta w następnej minucie, niż gdybyś czekał tylko 10 sekund od ostatniego przybycia. $\theta$

To automatycznie implikuje, że czas oczekiwania do następnego przybycia spełnia , tzn. Jest to rozkład wykładniczy. $T$ $\Pr(T>t) = e^{-t/\theta}$

A to z kolei można wykazać, że liczba klientów przybywających w dowolnym przedziale czasu spełnia $X$ $t$ , tj. ma rozkład Poissona z wartością oczekiwaną. Ponadto oznacza to, że liczba klientów przybywających w nie nakładających się przedziałach czasowych jest probabilistycznie niezależna. $\Pr(X=x) = \dfrac{e^{-t/\theta} (t/\theta)^x}{x!}$ $t/\theta$

Zatem brak pamięci czasów oczekiwania prowadzi do procesu Poissona.

— Michael Hardy
źródło

Cokolwiek twierdzą te twierdzenia, jest eksperymentalnym faktem, że - w normalnych sytuacjach - przybysze są bez pamięci. Nie można udowodnić, że liczba klientów przybywających w pewnym okresie nic, naprawdę.

Celem tego pytania nie było żądanie formalnego dowodu. Wiele razy dokonuje się obserwacji, które prowadzą do twierdzenia, a następnie „rozwija się” intuicja, aby dopasować się do obserwacji, a tym samym pomóc utrwalić twierdzenie w powszechnym rozumieniu. Szukałem czegoś podobnego. Zredagowałem moje pytanie, aby uwzględnić to samo.

— Vighnesh,

Dziękuję za odpowiedź. Nie nadążam jak pamięci mniej przyloty prowadzi do

. Czy mógłbyś opracować lub zacytować odniesienie, które szczegółowo o tym mówi. Dzięki.

Pr (T > t) = e^{- t / θ}

$\Pr(T>t) = e^{-t/\theta}$

— Vighnesh

Bez pamięci mówi

. To samo co

. Zdarzenie

jest takie samo jak zdarzenie

Pr (T > t + s ∣ T > t) = Pr (T > s)

$\Pr(T>t+s\mid T>t) = \Pr(T>s)$

Pr (T > t + s and T > t) = Pr (T > s)

$\Pr(T>t+s\text{ and }T>t) = \Pr(T>s)$

[T > t + s and T > t]

$[T>t+s\text{ and }T>t]$

. Stąd prawdopodobieństwo warunkowe wynosi

. Bez pamięci mówi, że jest to to samo co

. Stąd mamy

. Funkcja monotoniczna

która spełnia

T > t + s

$T>t+s$

Pr (T > t + s) / Pr (T > t)

$\Pr(T>t+s)/\Pr(T>t)$

Pr (T > s)

$\Pr(T>s)$

Pr (T > t + s) = Pr (T > t) Pr (T > s)

$\Pr(T>t+s)=\Pr(T>t)\Pr(T>s)$

g

$g$

jest funkcją wykładniczą. A monototyczność wynika z faktu, że

musi być mniejsza niż

ponieważ pierwsze zdarzenie implikuje, ale nie jest implikowane przez drugie.

g (t + s) = g (t) g (s)

$g(t+s)=g(t)g(s)$

Pr (T > t + s)

$\Pr(T>t+s)$

Pr (T > t)

$\Pr(T>t)$

— Michael Hardy,

Czy nie powinno to być

Pr (T > t) = 1 / θ * e^{- t / θ}

$\Pr(T>t) = 1/\theta*e^{-t/\theta}$

— vonjd

Omówi to prawie każde wprowadzenie do teorii kolejkowania lub książki o procesach stochastycznych, np. Ross, Procesy Stochastyczne lub Kleinrock, Teoria kolejkowania.

Na zarys dowodu, że przybywające bez pamięci przyjazdy prowadzą do wykładniczej różnicy:

Niech G (x) = P (X> x) = 1 - F (x). Teraz, jeśli dystrybucja jest bez pamięci,

G (s + t) = G (s) G (t)

tj. prawdopodobieństwo, że x> s + t = prawdopodobieństwo, że jest większe niż s, i że teraz, gdy jest większe niż s, jest większe niż (s + t). Właściwość bez pamięci oznacza, że drugie prawdopodobieństwo (warunkowe) jest równe prawdopodobieństwu, że inny rv o tym samym rozkładzie> t.

Cytując Rossa:

„Jedyne rozwiązania powyższego równania, które spełniają dowolne uzasadnione warunki (takie jak monotoniczność, ciągłość prawa lub lewa, a nawet mierzalność), mają postać:”

G (x) = exp (-ax) dla pewnej odpowiedniej wartości a.

i jesteśmy w rozkładzie wykładniczym.

— łucznik
źródło

PROJEKT PROCESÓW STOCHASTYCZNYCH: TEORIA ZASTOSOWAŃ Roberta Gallagera ( rle.mit.edu/rgallager/notes.htm ) jest dobrą bezpłatną alternatywą dla wprowadzenia do procesów stochastycznych, w tym dyskusji na temat procesu Poissona

— Martin Van der Linden,

Robert Gallager's RAFT OF STOCHASTIC PROCESSES: TEORIA DO ZASTOSOWAŃ

— Martin Van der Linden,