Bardzo trudno mi było pogodzić moje intuicyjne rozumienie rozkładów prawdopodobieństwa z dziwnymi właściwościami, które posiadają prawie wszystkie topologie rozkładów prawdopodobieństwa.
Na przykład rozważmy losową zmienną : wybierz Gaussa wyśrodkowany na 0 z wariancją 1 i z prawdopodobieństwem , dodaj do wyniku. Sekwencja takich losowych zmiennych zbiegnie się (słabo i w całkowitej zmienności) do Gaussa wyśrodkowanego na 0 z wariancją 1, ale średnia z wynosi zawsze a wariancje zbiegają się do . Naprawdę nie lubię mówić, że ta sekwencja jest z tego powodu zbieżna.
Zajęło mi sporo czasu, aby przypomnieć sobie wszystko, co zapomniałem o topologiach, ale w końcu zorientowałem się, co było dla mnie tak niezadowalające z takich przykładów: granica sekwencji nie jest umowną dystrybucją. W powyższym przykładzie granicą jest dziwny „Gaussian średniej 1 i nieskończonej wariancji”. W kategoriach topologicznych zestaw rozkładów prawdopodobieństwa nie jest kompletny pod słabym (i telewizyjnym i wszystkimi innymi topologiami, na które patrzyłem).
Następnie stoję przed następującym pytaniem:
czy istnieje topologia taka, że zestaw rozkładów prawdopodobieństwa jest kompletny?
Jeśli nie, to czy ta nieobecność odzwierciedla interesującą właściwość zbioru rozkładów prawdopodobieństwa? Czy to tylko nudne?
Uwaga: sformułowałem moje pytanie dotyczące „rozkładów prawdopodobieństwa”. Nie można ich zamknąć, ponieważ można je konwertować na Diracs i takie tam, które nie mają pliku pdf. Ale środki wciąż nie są zamknięte w ramach słabej topologii, więc moje pytanie pozostaje
crossposted to mathoverflow /mathpro/226339/topologies-for-which-the-ensemble-of-probability-measures-is-complete?noredirect=1#comment558738_226339