Co oznacza superskrypt 2 indeks dolny 2 w kontekście norm?

Jestem nowy w optymalizacji. Ciągle widzę równania, które mają indeks górny 2 i indeks dolny 2 po prawej stronie normy. Na przykład tutaj jest równanie najmniejszych kwadratów

min $||Ax-b||^2_2$

Wydaje mi się, że rozumiem indeks górny 2: oznacza to wyprostowanie wartości normy. Ale czym jest indeks dolny 2? Jak mam czytać te równania?

regression optimization notation

— bernie2436
źródło

| | θ | |_{p}

$||\theta||_p$ to -normacja . Powiedzmy, że ma wymiar , a następnie .

ℓ_{p}

$\ell_p$

θ

$\theta$

θ

$\theta$

d

$d$

| | θ | |_{p} = {(\sum_{i = 1}^{d} | θ_{i} |^{p})}^{\frac{1}{p}}

$||\theta||_p = \left(\sum_{i=1}^d |\theta_i|^p\right)^\frac{1}{p}$

— Sobi,

Pojedyncze wartości pionowe są używane dla wartości bezwzględnej (wielkości):

| θ |

$|\theta|$

— Scortchi - Przywróć Monikę

Dzięki! ... ale do czego służy indeks górny 2? ... indeks dolny dotyczy piątej normy .... dla indeksu górnego?

— mathopt

@ user1467929: Squaring - jeśli to coś innego, z pewnością by powiedzieli.

— Scortchi - Przywróć Monikę

Odpowiedzi:

Masz rację co do indeksu górnego. Indeks dolny określa -norm. $||.||_p$ $p$

W związku z tym:

| | x_{i} | |_{p} = (\sum_{i} | x_{i} |^{p})^{1 / p}

$||x_i||_p=(\sum_i|x_i|^p)^{1/p}$

| | x_{i} | |_{p}^{p} = \sum_{i} | x_{i} |^{p}

$||x_i||_p^p=\sum_i|x_i|^p$

— RUser4512
źródło

ah. I są konwencje znaczeń indeksów dolnych, które widzę. en.wikipedia.org/wiki/Norm_(mathematics)#p-norm . Tak jak 1 = norma taksówki, 2 = norma

— euklidesowa

@ bernie2436: Są to specjalne przypadki ogólnej definicji podanej w powyższej odpowiedzi (z wyjątkiem może sup-normy z )

p = \infty

$p = \infty$

— Michael M

$\|x\|_2$ jest normą euklidesową wektora ; jest kwadratową normą euklidesową . Zauważ, że ponieważ norma euklidesowa jest prawdopodobnie najczęściej stosowaną normą, ludzie zwykle skracają ją przez. Z definicji przy założeniu euklidesowej przestrzeni wektorowej: . $x$ $\|x\|_2^2$ $x$ $\|x\|$ $\|x\|_2 := \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2}$

Jak wspomniano w komentarzach, indeks dolny odnosi się do stopnia normy. Inne powszechnie stosowane normy są dla , , a . Dla otrzymuje się liczbę elementów niezerowych w , dla (tj. ) otrzymuje się normę Manhattanu, a dla uzyskuje się maksymalną wartość bezwzględną z elementów w . Zarówno i są popularne w rzadkich / skompresowanych ustawieniach aplikacji, w których chce się „zmusić” niektóre współczynniki do wyzerowania. $p$ $p = 0$ $p = 1$ $p = \infty$ $p=0$ $x$ $p=1$ $\|x\|_1$ $p = \infty$ $x$ $p = 0$ $p = 1$

— usεr11852 mówi Reinstate Monic
źródło