Jak porównują gamma Goodmana-Kruskala i korelacje tau Kendalla lub Spearmana rho?

W mojej pracy porównujemy przewidywane rankingi z prawdziwymi rankingami dla niektórych zestawów danych. Do niedawna korzystaliśmy z Kendall-Tau sam. Grupa pracująca nad podobnym projektem zasugerowała, że zamiast tego próbujemy użyć gammy Goodmana-Kruskala i wolą ją. Zastanawiałem się, jakie były różnice między różnymi algorytmami korelacji rang.

Najlepszą, jaką znalazłem, była ta odpowiedź , która twierdzi, że Spearman jest używany zamiast zwykłych korelacji liniowych, i że Kendall-Tau jest mniej bezpośredni i bardziej przypomina Goodmana-Kruskala Gamma. Dane, z którymi pracuję, nie wydają się mieć żadnych oczywistych korelacji liniowych, a dane są mocno wypaczone i nietypowe.

Ponadto Spearman generalnie zgłasza wyższą korelację dla naszych danych niż Kendall-Tau, a ja zastanawiałem się, co to konkretnie mówi o danych. Nie jestem statystykiem, więc niektóre artykuły, które czytam na ten temat, wydają mi się żargonem, przepraszam.

Spearman rho vs Kendall tau . Te dwa są tak bardzo różne obliczeniowo, że nie można bezpośrednio porównać ich wielkości. Spearman jest zwykle wyższy o 1/4 do 1/3, co prowadzi do błędnego wniosku, że Spearman jest „lepszy” dla określonego zestawu danych. Różnica między rho i tau polega na ich ideologii, proporcji wariancji dla rho i prawdopodobieństwie dla tau. Rho jest zwykłym r Pearsona stosowanym do danych rankingowych i podobnie jak r, jest bardziej wrażliwy na punkty o dużych momentach (to znaczy odchylenia od centrum chmury) niż na punkty o małych momentach. Dlatego rho jest dość wrażliwe na kształt chmury po rankinguzrobione: współczynnik podłużnej chmury rombowej będzie wyższy niż współczynnik podłużnej chmury z hantlami (ponieważ ostre krawędzie pierwszego to duże momenty). Tau jest rozszerzeniem gamma i jest równie wrażliwe na wszystkie punkty danych , więc jest mniej wrażliwe na osobliwości w kształcie chmurki rankingowej. Tau jest bardziej „ogólne” niż rho, ponieważ rho jest uzasadnione tylko wtedy, gdy uważasz, że podstawowy (model lub funkcjonalny w populacji) związek między zmiennymi jest ściśle monotoniczny. Podczas gdy Tau pozwala na niemonotoniczną krzywą bazową i miary, które monotoniczny „trend”, dodatni lub ujemny, przeważają tam ogólnie. Rho jest porównywalne z r pod względem wielkości; tau nie jest.

Kendall tau jako Gamma . Tau jest tylko znormalizowaną formą gamma. Wszystkie powiązane miary mają licznik ale różnią się mianownikiem normalizującym :$P-Q$

• Gamma: $P+Q$
• Somers 'D („zależne od x”): $P+Q+T_x$
• Somers 'D („zależny od y”): $P+Q+T_y$
• Somers 'D („symetryczny”): średnia arytmetyczna z powyższych dwóch
• Kendall's Tau-b corr. (najbardziej odpowiedni dla tabel kwadratowych): średnia geometryczna tych dwóch
• Kendall's Tau-c corr. (najbardziej odpowiedni do stołów prostokątnych): $N^2(k-1)/(2k)$
• Tau-a corr Kendalla. (dokonuje korekty NO dla krawatów): $N(N-1)/2 = P+Q+T_x+T_y+T_{xy}$

gdzie - liczba par obserwacji z „zgodnością”, Q - z „inwersją”; T x - liczba powiązań według zmiennej X, T y - według zmiennej Y, T x y - według obu zmiennych; N - liczba obserwacji, k - liczba różnych wartości w tej zmiennej, gdy liczba ta jest mniejsza.$P$$Q$$T_x$$T_y$$T_{xy}$$N$$k$

Zatem tau jest bezpośrednio porównywalne teoretycznie i pod względem wielkości z gamma. Rho jest bezpośrednio porównywalny pod względem teorii i wielkości z Pearsonem . Ładna odpowiedź Nicka Staunera tutaj mówi, jak można pośrednio porównać rho i tau.$r$

Zobacz także o tau i rho.

Oto cytat z Andrew Gilpin (1993) opowiadający się za Maurice'a Kendalla nad ρ Spearmana z powodów teoretycznych:$τ$$ρ$

[ Kendalla zbliża się do rozkładu normalnego szybciej niż ρ , ponieważ N zwiększa wielkość próbki; i τ jest również łatwiejsze w matematyce, szczególnie gdy występują więzi. $τ$$ρ$$N$$τ$

Nie mogę dodać wiele o Goodmanie-Kruskalu , poza tym, że wydaje się on dostarczać coraz tak nieco większe szacunki niż τ Kendalla w próbce danych ankietowych, z którymi ostatnio pracowałem ... i oczywiście zauważalnie niższe oszacowania niż ρ Spearmana . Jednak próbowałem też obliczyć kilka częściowych szacunków γ (Foraita i Sobotka, 2012), a te okazały się bliższe częściowemu ρ niż częściowemu τ ... Jednak zajęło to sporo czasu, więc odejdę testy symulacyjne lub porównania matematyczne z kimś innym ... (kto by wiedział, jak je wykonać ...)$γ$$τ$$ρ$$γ$$ρ$$τ$

Jak sugeruje ttnphns , nie można wnioskować, że twoje szacunki są lepsze niż twoje τ pod względem samej wielkości, ponieważ ich skale różnią się (chociaż granice nie). Gilpin cytuje Kendalla (1962) jako opisujący stosunek ρ do τ jako około 1,5 w większości zakresu wartości. Zbliżają się stopniowo wraz ze wzrostem ich wielkości, więc gdy oba zbliżają się do 1 (lub -1), różnica staje się nieskończenie mała. Gilpin podaje ładną dużą tabelę równoważnych wartości ρ , r , r 2 , d i Z r out do trzeciej cyfry dla $ρ$$τ$$ρ$$τ$$ρ$$r$$r^2$$Z_r$$τ$z każdym przyrostem 0,01 w całym zakresie, tak jak można się spodziewać na okładce podręcznika statystyk wprowadzających. Oparł te wartości na specyficznych formułach Kendalla, które są następujące: (i uproszczone tego wzoru dopod postaci, w jakiej Gilpin scenariusza, który był w zakresie Pearsonar).

Może warto byłoby zamienić na $τ$$ρ$ i zobaczyć, jak zmiana obliczeniowa wpływa na oszacowanie wielkości efektu. Wydaje się, że to porównanie dałoby pewne wskazanie, w jakim stopniu problemy, na które Spearmana jest bardziej wrażliwy, występują w twoich danych, jeśli w ogóle. Z pewnością istnieją bardziej bezpośrednie metody indywidualnego identyfikowania każdego konkretnego problemu; moja sugestia przyniosłaby bardziej szybki i brudny rozmiar efektu omnibus dla tych problemów. Jeśli nie ma różnicy (po skorygowaniu różnicy skali), można argumentować, że nie trzeba szukać dalej problemów, które dotyczą tylko $ρ$$ρ$. Jeśli istnieje znacząca różnica, prawdopodobnie nadszedł czas, aby rozbić soczewkę powiększającą, aby ustalić, co jest odpowiedzialne.

Nie jestem pewien, w jaki sposób ludzie zwykle zgłaszają rozmiary efektów, gdy używają Kendalla (w niestety ograniczonym stopniu, że ludzie martwią się raportowaniem rozmiarów efektów w ogóle), ale ponieważ wydaje się prawdopodobne, że nieznani czytelnicy spróbowaliby interpretować to na skalę Pearsona r , to może być mądry, aby zgłosić zarówno swoją τ statystyki i jej wpływ na wielkość skali r stosując powyższy wzór konwersji ... a przynajmniej zwrócić uwagę na różnicę w skali i dać okrzyk Gilpin jego poręcznej tabeli konwersji .$τ$$r$$τ$$r$

Referencje

Foraita, R., i Sobotka, F. (2012). Walidacja modeli graficznych. Pakiet gmvalid, v1.23. Kompleksowa sieć archiwów R. URL: http://cran.r-project.org/web/packages/gmvalid/gmvalid.pdf

Gilpin, AR (1993). Tabela konwersji Tau Kendalla na Rho Spearmana w kontekście miar wielkości efektu dla metaanalizy. Pomiary edukacyjne i psychologiczne, 53 (1), 87-92.

Kendall, MG (1962). Metody korelacji rang (wydanie trzecie). Londyn: Griffin.

Są to wszystkie dobre wskaźniki asocjacji monotonicznych. Spearmana jest związane z prawdopodobieństwem zgodności większości wśród losowych trojaczków obserwacji, a τ (Kendall) i γ (Goodman-Kruskal) są powiązane z parą zgodności. Głównym podjąć decyzję w wyborze γ vs. τ jest to, czy chcesz, aby karać za więzi w X i / lub Y . γ nie penalizuje żadnego z tych związków, więc porównanie zdolności przewidywania X 1 i X 2 w przewidywaniu Y nie wynagrodzi jednego z $\rho$$\tau$$\gamma$$\gamma$$\tau$$X$$Y$$\gamma$$X_{1}$$X_{2}$$Y$$X$$X$$X$$\gamma$