Zmniejszenie o połowę dyskretnej zmiennej losowej?

9

Pozwolić $X$ być dyskretną zmienną losową przyjmującą jej wartości $\mathbb{N}$ . Chciałbym zmniejszyć tę zmienną o połowę , to znaczy znaleźć zmienną losową $Y$ Jak na przykład:

X = Y + Y^{*}

$X = Y + Y^*$

gdzie $Y^*$ jest niezależną kopią $Y$ .

Odnoszę się do tego procesu jako do połowy ; to wymyślona terminologia. Czy w literaturze istnieje odpowiedni termin na tę operację?
Wydaje mi się, że takie $Y$ zawsze istnieje tylko wtedy, gdy zaakceptujemy negatywne prawdopodobieństwa. Czy mam rację w moich spostrzeżeniach?
Czy istnieje pojęcie najlepszej pozytywnego dopasowania do $Y$ ? Aka losowa zmienna, która byłaby „najbliższa” do rozwiązania powyższego równania.

Dzięki!

random-variable

— Joannes Vermorel
źródło

1

W przypadkach, w których nie można dokładnie „zmniejszyć o połowę”, istnieje wiele możliwych definicji „najbliższego”; zależy to od tego, co chcesz zoptymalizować.

— Glen_b

10

Pojęcie silnie związane z tą właściwością (jeśli jest słabsze) to rozkład . Prawo rozkładalne to rozkład prawdopodobieństwa, który można przedstawić jako rozkład sumy dwóch (lub więcej) nietrywialnych niezależnych zmiennych losowych. (I nie można w ten sposób napisać prawa nierozkładalnego. „Lub więcej” jest zdecydowanie nieistotne.) Koniecznym i wystarczającym warunkiem dekompozycji jest funkcja charakterystyczna

ψ (t) = E [\exp {i t X}]

$\psi(t)=\mathbb{E}[\exp\{itX\}]$ jest produktem dwóch (lub więcej) charakterystycznych funkcji.

Nie wiem, czy rozważana właściwość ma już nazwę w teorii prawdopodobieństwa, może być powiązana z nieskończoną podzielnością . Co jest znacznie silniejszą właściwością $X$ , ale która obejmuje tę właściwość: wszystkie nieskończenie podzielne rv spełniają ten rozkład.

Niezbędnym i wystarczającym warunkiem tej „pierwotnej podzielności” jest pierwiastek funkcji charakterystycznej

ψ (t) = E [\exp {i t X}]

$\psi(t)=\mathbb{E}[\exp\{itX\}]$ jest znowu charakterystyczną funkcją.

W przypadku rozkładów z obsługą liczb całkowitych rzadko ma to miejsce, ponieważ funkcją charakterystyczną jest wielomian w $\exp\{it\}$ . Na przykład losowa zmienna Bernoulliego nie podlega rozkładowi.

Jak wskazano na stronie Wikipedii dotyczącej rozkładu , istnieją również absolutnie ciągłe rozkłady, które nie ulegają rozkładowi, takie jak gęstość

f (x) = \frac{x^{2}}{\sqrt{2 π}} \exp {- x^{2} / 2}

$f(x)=\frac{x^2}{\sqrt{2\pi}}\exp\{-x^2/2\}$

W przypadku charakterystycznej funkcji $X$ jest wartościowy, można zastosować twierdzenie Polyi :

Twierdzenie Pólyi. Jeśli φ jest funkcją ciągłą o wartości równej wartości rzeczywistej, która spełnia warunki
φ(0) = 1,
φ is convex on (0,∞),
φ(∞) = 0,
wtedy φ jest funkcją charakterystyczną absolutnie ciągłego rozkładu symetrycznego.

Rzeczywiście w tym przypadku $\varphi^{1/2}$ jest ponownie wyceniony. Dlatego wystarczający warunek dla $X$ podstawową podzielnością jest to, że φ jest wypukłe. Ale dotyczy to tylko rozkładów symetrycznych, więc ma o wiele bardziej ograniczone zastosowanie niż na przykład twierdzenie Böchnera .

— Xi'an
źródło

6

Istnieją pewne szczególne przypadki, w których jest to prawdą, ale w przypadku dowolnej dyskretnej zmiennej losowej twoje „zmniejszenie o połowę” nie jest możliwe.

Suma dwóch niezależnych dwumianów $(n,p)$ zmienne losowe są dwumianowe $(2n,p)$ zmienna losowa, a więc dwumianowy $(2n,p)$ można „zmniejszyć o połowę”.
Ćwiczenie: dowiedz się, czy dwumianowy $(2n+1,p)$ zmienna losowa może być „zmniejszona o połowę”.
Podobnie, ujemny dwumian $(2n,p)$ zmienna losowa może być „zmniejszona o połowę”.
Suma dwóch niezależnych Poissonów $(\lambda)$ zmienne losowe to Poissona $(2\lambda)$ ; przeciwnie, Poissona $(\lambda)$ zmienna losowa jest sumą dwóch niezależnych Poissona $(\frac{\lambda}{2})$ zmienne losowe. Rzeczywiście, jak zauważył @ Xi'an w komentarzu, Poisson $(\lambda)$ zmienna losowa może być „zmniejszona o połowę” tyle razy, ile chcemy: dla każdej dodatniej liczby całkowitej $n$ , jest to suma $2^n$ niezależny Poisson $\left(\frac{\lambda}{2^n}\right)$ zmienne losowe.

— Dilip Sarwate
źródło

2

+1 Przypominam sobie, że dyskretny uniform jest szczególnym przypadkiem, w którym nie jest to możliwe (uważam, że istnieje wiele innych, ale na to patrzyłem).

— Glen_b

Rzeczywiście, jednolity rozkład jest rozkładalny, ale nie jest podzielny w powyższym sensie.

— Xi'an

2

Rozkład Poissona jest jednym z przykładów rozkładu nieskończenie podzielnego, więc można go podzielić na sumę dowolnej liczby zmiennych iid.

— Xi'an

-1

Problem wydaje mi się, że prosisz o „niezależną kopię”, w przeciwnym razie możesz po prostu pomnożyć $\frac{1}{2}$ ? Zamiast pisać kopię (kopia jest zawsze zależna), być może powinieneś napisać „dwie niezależne, ale identycznie rozmieszczone zmienne losowe”.

Aby odpowiedzieć na twoje pytania,

to, co jest najbliższe, to być może termin „splot”. Za dane $X$ , szukasz dwóch iid RV ze splotem $X$ .
jeśli zaakceptujesz prawdopodobieństwo ujemne, nie są to już zmienne losowe, ponieważ nie ma już przestrzeni prawdopodobieństwa. Są przypadki, w których można je znaleźć $Y,Y^*$ ( $X$ $\lambda$ -Poisson-dystrybuowane, $Y$ , $Y^*$ $\frac{\lambda}{2}$ -Poisson-Distributed) oraz przypadki, w których nie jest to możliwe ( $X$ Bernoulli, jako przykład).
nie widziałem żadnego i nie wyobrażam sobie, jak sformalizować takie najlepsze dopasowanie. Zwykle aproksymacje zmiennych losowych są mierzone przez normę w przestrzeni zmiennych losowych. Nie mogę myśleć o przybliżeniach zmiennych losowych przez zmienne nieprzypadkowe.

Mam nadzieję, że mógłbym pomóc.

— mattd
źródło