Jak pokazać, że estymator jest spójny?

Czy wystarczy wykazać, że MSE = 0 jako $n\rightarrow\infty$ ? Przeczytałem również w swoich notatkach coś o Plim. Jak znaleźć plim i użyć go, aby pokazać, że estymator jest spójny?

estimation convergence consistency

— Cierpliwość
źródło

EDYCJA: Naprawiono drobne błędy.

Oto jeden ze sposobów, aby to zrobić:

Estymator $\theta$ (nazwijmy to $T_n$ ) jest spójny, jeśli zbiega się w prawdopodobieństwie do $\theta$ . Korzystanie z notacji

$\mathrm{plim}_{n\rightarrow\infty}T_n = \theta$ .

Matematyka oznacza zbieżność prawdopodobieństwa

$\lim\limits_{n\rightarrow\infty} P(|T_n - \theta|\geq \epsilon)= 0$ $\epsilon>0$ .

Najłatwiejszym sposobem wykazania zbieżności prawdopodobieństwa / spójności jest wywołanie nierówności Czebyszewa, która stwierdza:

$P((T_n - \theta)^2\geq \epsilon^2)\leq \frac{E(T_n - \theta)^2}{\epsilon^2}$ .

A zatem,

. $P(|T_n - \theta|\geq \epsilon)=P((T_n - \theta)^2\geq \epsilon^2)\leq \frac{E(T_n - \theta)^2}{\epsilon^2}$

Musisz więc pokazać, że przyjmuje wartość 0 jako . $E(T_n - \theta)^2$ $n\rightarrow\infty$

EDYCJA 2 : Powyższe wymaga, aby estymator był co najmniej asymptotycznie bezstronny. Jako G. Jay Kerns zaznacza, za estymator (na oszacowanie średniej ). jest tendencyjny zarówno dla skończonego i asymptotycznie, a jako . Jednak nie jest spójnym estymatorem . $T_n = \bar{X}_n+3$ $\mu$ $T_n$ $n$ $\mathrm{Var}(T_n)=\mathrm{Var}(\bar{X}_n)\rightarrow 0$ $n\rightarrow \infty$ $T_n$ $\mu$

EDYCJA 3 : Zobacz punkty kardynała w komentarzach poniżej.

@ G.JayKerns Bezstronność jest do tego niepotrzebna. Rozważmy

jest tendencyjnym estymatorem odchylenia standardowego, ale możesz użyć powyższego argumentu, aby pokazać, że jest on spójny.

S_{n} = \sqrt{\frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - \bar{X_{n}})^{2}}

$S_n = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X_n})^2}$

S_{n}

$S_n$

Wygląda dobrze (+1); i usunę moje wcześniejsze komentarze.

@ G.JayKerns Twoje komentarze były niezbędnym dodatkiem. Zawsze musimy upewnić się, że jesteśmy świadomi założeń, nad którymi pracujemy.

@MikeWierzbicki: Myślę, że musimy być bardzo ostrożni, zwłaszcza jeśli chodzi o to, co rozumiemy przez asymptotycznie bezstronny . Istnieją co najmniej dwa różne pojęcia, które często otrzymują tę nazwę, i ważne jest, aby je rozróżnić. Należy zauważyć, że ogólnie nie jest prawdą, że spójny estymator jest asymptotycznie bezstronny w tym sensie, że

nawet gdy średnia

istnieje dla wszystkich

. Wiele osób nazywa zbieżność

bezstronnością w granicy lub przybliżoną bezstronnością

E T_{n} \to θ

$\mathbb E T_n \to \theta$

θ_{n} = E T_{n}

$\theta_n = \mathbb E T_n$

n

$n$

E T_{n} \to θ

$\mathbb E T_n \to \theta$ ... (cd.)

— kardynał

Oczywiście, aby konsekwentny estymator był tendencyjny w granicy, zbieżność w

musi zawieść, ponieważ

gdzie

L_{2}

$L_2$

E (T_{n} - θ)^{2} = V a r (T_{n}) + (θ_{n} - θ)^{2}

$\mathbb E(T_n - \theta)^2 = \mathrm{Var}(T_n) + (\theta_n - \theta)^2$

θ_{n} = E T_{n}

$\theta_n = \mathbb E T_n$

— kardynał