Przybliżanie całek za pomocą symulacji Monte Carlo w R.

Jak aproksymować następującą całkę za pomocą symulacji MC?

\int_{- 1}^{1} \int_{- 1}^{1} | x - y | re x re y

$\int_{-1}^{1} \int_{-1}^{1} |x-y| \,\mathrm{d}x \,\mathrm{d}y$

Dzięki!

Edycja (jakiś kontekst): Próbuję nauczyć się korzystać z symulacji w celu przybliżenia całek i ćwiczę, gdy napotkałem pewne trudności.

Edytuj 2 + 3 : Jakoś się pomyliłem i pomyślałem, że muszę podzielić całkę na osobne części. Więc właściwie to rozgryzłem:

n <- 15000
x <- runif(n, min=-1, max=1)
y <- runif(n, min=-1, max=1)
mean(4*abs(x-y))

r self-study monte-carlo

— Moje imię
źródło

Jesteś na dobrej drodze! Twoja odpowiedź jest bardzo bliska poprawności. Brakuje ci jednej drobnej części. ( Wskazówka : co to jest pdf zmiennej losowej )?

U (- 1, 1)

$\mathcal U(-1,1)$

— kardynał

To 0,5. Więc muszę pomnożyć przez dwa 2, aby dać: „mean (4 * abs (xy))”. Czy w końcu to dostałem?

— Moje imię

(+1) Tak ! :) Być może będziesz musiał poczekać kilka (8?) Godzin, ale powinieneś rozważyć powrót i umieszczenie swojej edycji w odpowiedzi, aby inni użytkownicy (jak ja) mogli ją głosować. Witamy na stronie! Mam nadzieję, że nadal tu będziesz uczestniczyć. Twoje zdrowie. :)

— kardynał

Należy dodać jeden punkt: uważam, że maksima są niezwykle przydatne w matematyce symbolicznej. Gdybym musiał sam wykonać obliczenia analityczne, miałbym ten sam problem co @EpiGrad. Ale w maksymach możesz zrobić integrate(integrate(abs(x-y), y, -1, 1), x, -1, 1);i uzyskać odpowiedź 8/3.

— Karl

Dla zainteresowanych R, choć nie tak eleganckich przy kodzie maksima podanym przez Karla, można to zrobić integrate(Vectorize(function(y) integrate(function(x) abs(x-y), -1, 1)$value), -1, 1)i uzyskać przybliżenie liczbowe. Korzystanie z kubaturze pakiet adaptIntegrate(function(x) abs(x[1] - x[2]), c(-1, -1), c(1, 1))może być używany. Ma to na celu podanie kilku pomysłów na liczbową ocenę całek, które mogą się przydać, na przykład podczas testowania, czy symulacja działa poprawnie.

— NRH

Dla porównania, całka o małych wymiarach jest zwykle bardziej efektywnie wykonywana za pomocą deterministycznej kwadratury zamiast Monte Carlo. Monte Carlo ma swoje wymiary od około 4 do 6 wymiarów. Oczywiście najpierw muszę się tego nauczyć w małych wymiarach ...

— użytkownik873
źródło

Myślę, że dlatego to pytanie jest oznaczone pracą domową :-).

— whuber

Możesz to zrobić w programie Excel za pomocą Tukhi .

Wchodzić

=tukhi.average(abs(2*rand()-1 - (2*rand()-1)))

i naciśnij przycisk Uruchom.

— Keith A. Lewis
źródło