Jakie jest statystyczne uzasadnienie interpolacji?

Załóżmy, że mamy dwa punkty (poniższy rysunek: czarne kółka) i chcemy znaleźć wartość trzeciego punktu między nimi (krzyżyk). Rzeczywiście, oszacujemy to na podstawie naszych wyników eksperymentalnych, czarnych punktów. Najprostszym przypadkiem jest narysowanie linii, a następnie znalezienie wartości (tj. Interpolacja liniowa). Gdybyśmy mieli np. Punkty podparcia, jako brązowe punkty po obu stronach, wolimy czerpać z nich korzyści i dopasować krzywą nieliniową (zielona krzywa).

Pytanie brzmi: jakie jest statystyczne uzasadnienie oznaczenia Czerwonego Krzyża jako rozwiązania? Dlaczego inne krzyże (np. Żółte) nie są odpowiedziami tam, gdzie mogłyby być? Jaki wniosek lub (?) Popycha nas do zaakceptowania czerwonej?

Opracuję moje oryginalne pytanie w oparciu o odpowiedzi na to bardzo proste pytanie.

Każda forma dopasowania funkcji, nawet nieparametryczna (która zazwyczaj przyjmuje założenia dotyczące gładkości stosowanej krzywej), obejmuje założenia, a zatem skok wiary.

Starożytne rozwiązanie interpolacji liniowej polega na tym, że „po prostu działa”, gdy posiadane dane są drobnoziarniste „wystarczająco” (jeśli spojrzysz na koło wystarczająco blisko, to również wygląda płasko - po prostu zapytaj Kolumba), i było możliwe nawet przed erą komputerów (co nie ma miejsca w przypadku wielu współczesnych rozwiązań splajnów). Sensowne jest założenie, że funkcja będzie „zachowywać się w tej samej (tj. Liniowej) materii” między dwoma punktami, ale nie ma z góry uzasadnionego powodu (z wyjątkiem wiedzy o omawianych koncepcjach).

Szybko staje się jasne, gdy masz trzy (lub więcej) niekolinearnych punktów (np. Gdy dodasz brązowe punkty powyżej), że liniowa interpolacja między każdym z nich wkrótce będzie obejmować ostre rogi w każdym z tych, co zwykle jest niepożądane. Właśnie tam wskakują inne opcje.

Jednak bez dalszej wiedzy w tej dziedzinie nie można z całą pewnością stwierdzić, że jedno rozwiązanie jest lepsze od drugiego (w tym celu musiałbyś wiedzieć, jaka jest wartość innych punktów, pokonując cel dopasowania funkcji do pierwsze miejsce).

Z drugiej strony, a może bardziej odpowiednie dla twojego pytania, w „warunkach prawidłowości” (czytaj: założenia : jeśli wiemy że funkcja jest np. Gładka), zarówno interpolacja liniowa, jak i inne popularne rozwiązania mogą być „rozsądne” przybliżenia. Nadal: wymaga to założeń i dla nich zazwyczaj nie mamy statystyk.

Możesz wypracować równanie liniowe dla linii najlepszego dopasowania (np. Y = 0,4555 x + 0,7525), ale zadziałałoby to tylko, gdyby istniała oś oznaczona. Jednak nie dałoby to dokładnej odpowiedzi tylko najlepiej pasującej do pozostałych punktów.