Co oznacza „bezstronność”?

• Co to znaczy powiedzieć, że „wariancja jest tendencyjnym estymatorem”.
• Co to znaczy przekonwertować tendencyjne oszacowanie na obiektywne oszacowanie za pomocą prostej formuły. Co dokładnie robi ta konwersja?
• Jakie jest praktyczne zastosowanie tej konwersji? Czy przeliczasz te wyniki, używając pewnego rodzaju statystyk?

Można znaleźć wszystko tutaj . Oto krótka odpowiedź.

Niech i σ 2 będą średnią i wariancją zainteresowania; chcesz oszacować σ 2 na podstawie próbki wielkości n .$\mu$$\sigma^2$$\sigma^2$$n$

Powiedzmy, że używasz następującego estymatora:

$S^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_{i} - \bar{X})^2$ ,

gdzie jest estymatorem$\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$$\mu$ .

Nietrudno (patrz przypis) zobaczyć, że $E[S^2] = \frac{n-1}{n}\sigma^2$ .

Ponieważ , estymator S $E[S^2] \neq \sigma^2$$S^2$ jest uważany za stronniczy.

Zauważ jednak, że . Dlatego ˜ S 2=$E[\frac{n}{n-1} S^2] = \sigma^2$jest obiektywnym estymatoremσ2.$\tilde{S}^2 = \frac{n}{n-1} S^2$$\sigma^2$

Notatka

Zacznij od napisania a następnie rozwiń produkt ...$(X_i - \bar{X})^2 = ((X_i - \mu) + (\mu - \bar{X}))^2$

Edytuj, aby uwzględnić swoje komentarze

Oczekiwana wartość nie daje σ 2 (a zatem S 2 jest tendencyjna), ale okazuje się, że można przekształcić S 2 w ˜ S 2, tak że oczekiwanie daje σ $S^2$$\sigma^2$$S^2$$S^2$$\tilde{S}^2$$\sigma^2$ .

W praktyce często preferuje się pracę z zamiast S 2 . Ale jeśli n jest wystarczająco duże, nie jest to duży problem, ponieważ $\tilde{S}^2$$S^2$$n$.$\frac{n}{n-1} \approx 1$

Uwaga Zauważ, że bezstronność jest własnością estymatora, a nie oczekiwań, jak napisałeś.

Ta odpowiedź wyjaśnia odpowiedź ocram. Głównym powodem (i powszechnym nieporozumieniem) dla jest to, że S 2 używa oszacowania ˉ $E[S^2] \neq \sigma^2$$S^2$$\bar{X}$ które samo jest oszacowane na podstawie danych.

Jeśli przejdziesz przez derywację, zobaczysz, że wariancja tego oszacowania jest dokładnie tym, co daje dodatkowe - σ $E[(\bar{X}-\mu)^2]$ termin$-\frac{\sigma^2}{n}$

Wyjaśnienie podane przez @Ocram jest świetne. Aby wyjaśnić to, co powiedział słowami: jeśli obliczymy dzieląc tylko przez n , (co jest intuicyjne) nasze oszacowanie s 2 będzie niedoszacowane. Aby to zrekompensować, dzielimy przez n - $s^2$$n$$s^2$$n-1$ .

Oto ćwiczenie: oblicz dyskretne prawdopodobieństwo z 2 wynikami, powiedzmy i P ( 6 ) = 0,75 . Znajdź μ i σ dla tego rozkładu. Obliczyć μ i σ dla średniej próbki, gdy n = 3 . Oblicz wszystkie możliwe próbki o wielkości n = 3 . Oblicz s 2 dla tych próbek i zastosuj odpowiednie częstotliwości. $P(2) = .25$$P(6) = .75$$\mu$$\sigma$$\mu$$\sigma$$n = 3$$n =3$$s^2$

Czasami musisz ubrudzić sobie ręce.

Zasadniczo użycie „n” w mianowniku daje mniejsze wartości niż wariancja populacji, którą chcemy oszacować. Dzieje się tak zwłaszcza, gdy pobierane są małe próbki. W języku statystyki mówimy, że wariancja próby zapewnia „tendencyjne” oszacowanie wariancji populacji i należy ją uczynić „bezstronną”.

Ten film wideo odpowiednio odpowie na każdą część twojego pytania.

https://www.youtube.com/watch?v=xslIhnquFoE