Wyznaczanie funkcji wiarygodności dla IV-probit


10

Mam więc model binarny, w którym y1 jest ukrytą nieobserwowaną zmienną, a y1{0,1} jest obserwowany. y2 określa y1 a z2 jest zatem moim instrumentem. Krótko mówiąc, model jest.

y1=δ1z1+α1y2+u1y2=δ21z1+δ22z2+v2=zδ+v2y1=1[y>0]
Ponieważ terminy błędów nie są niezależne, ale
(u1v2)N(0,[1ηητ2]).
Korzystam z modelu IV-probit.

Mam problem z uzyskaniem funkcji wiarygodności. Rozumiem, że mogę zapisać jeden z terminów błędów jako funkcję liniową drugiego, więc

u1=ητ2v2+ξ,whereξN(0,1η2).

i żeξnależy zastosować w celu nałożenia normalnego CDF.

Zajrzałem do instrukcji Stata ( http://www.stata.com/manuals13/rivprobit.pdf ) pod kątem IV-probit i sugerują użycie definicji gęstości warunkowej

f(y1,y2z)=f(y1y2,z)f(y2z)

w celu uzyskania funkcji wiarygodności, ale tak naprawdę jej nie używam (i tak, mam w końcu zły wynik ...). Jak dotąd próbuję

Jak powiedziałem, nie użyłem definicji funkcji gęstości złącza, jak podano powyżej. Co więcej, kończę również na tym, żef(y2z)podnosi się doy1,co wydaje się błędne. Czy ktoś może mi podpowiedzieć, jak uzyskać prawidłową funkcję (log-) prawdopodobieństwa lub gdzie popełniłem błąd?

L(y1)=i=1nPr(y1=0y2,z)1y1Pr(y1=1y2,z)y1=i=1nPr(y10)1y1(Pr(y1>0)f(y2z))y1[standardizing]=i=1nPr(ξ1η2δ1z1+α1y2+ητ2(y2z)1η2)1y1(Pr(ξ1η2<δ1z1+α1y2+ητ2(y2z)1η2)f(y2z))y1=[1Φ(w)]1yi[Φ(w)f(y2x)]y1
f(y2z)y1

Odpowiedzi:


6

(XY)N([μXμY],[σX2ρσXσYρσXσYσY2]),
YX
YXN(μY+ρσYXμXσX,σY[1ρ2]).

In the present case, we have

u1v2N(0+η1τ1v20τ,1[1(η1τ)2])=N(ητ2v2,1η2τ2),
which means that
u1=ητ2v2+ξ
where (and this was your first mistake)
ξN(0,1η2τ2).

We can thus rewrite the first equation

y1=δ1z1+α1y2+u1=δ1z1+α1y2+ητ2v2+ξ=δ1z1+α1y2+ητ2(y2zδ)+ξ.

Now, remember that the conditional probability density function of X=x given Y=y is

fX(xy)=fXY(x,y)fY(y).

In the present case, we have

f1(y1y2,z)=f12(y1,y2z)f2(y2z),
which can be rearranged to your expression
f12(y1,y2z)=f1(y1y2,z)f2(y2z).

Then, we can write the likelihood as a function of the densities of the two independent shocks v1,ξ1:

L(y1,y2z)=inf1(y1iy2i,zi)f2(y2izi)=inPr(y1i=1)y1iPr(y1i=0)1y1if2(y2izi)=inPr(y1i>0)y1iPr(y1i0)1y1if2(y2izi)=inPr(δ1z1i+α1y2i+ητ2(y2iziδ)+ξi>0)y1iPr(δ1z1i+α1y2i+ητ2(y2iziδ)+ξi0)1y1if2(y2izi)=inPr(ξi>[δ1z1i+α1y2i+ητ2(y2iziδ)])y1iPr(ξi[δ1z1i+α1y2i+ητ2(y2iziδ)])1y1if2(y2izi)=inPr(ξi01η2τ2>δ1z1i+α1y2i+ητ2(y2iziδ)+01η2τ2)y1iPr(ξi01η2τ2δ1z1i+α1y2i+ητ2(y2iziδ)+01η2τ2)1y1if2(y2izi)=inPr(ξi1η2τ2>wi)y1iPr(ξi1η2τ2wi)1y1if2(y2izi)=in[1Pr(ξi1η2τ2wi)]y1iPr(ξi1η2τ2wi)1y1if2(y2izi)=i[1Φ(wi)]y1iΦ(wi)1y1iφ(y2iziδτ)=inΦ(wi)y1i[1Φ(wi)]1y1iφ(y2iziδτ)=Φ(w)y1[1Φ(w)]1y1φ(y2zδτ)
where
wi=δ1z1i+α1y2i+ητ2(y2iziδ)1η2τ2.
Φ(z) and φ(z) are the cumulative density function and probability density function of the standard normal distribution.
Korzystając z naszej strony potwierdzasz, że przeczytałeś(-aś) i rozumiesz nasze zasady używania plików cookie i zasady ochrony prywatności.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.