Czy kowariancja standardowych zmiennych jest korelacją?

Mam podstawowe pytanie. Powiedzmy, że mam dwie zmienne losowe, $X$ i $Y$ . Mogę je znormalizować, odejmując średnią i dzieląc przez odchylenie standardowe, tj. $X_{standardized} = \frac{(X - E(X))}{(SD(X))}$ .

Czy korelacja $X$ i $Y$ , $Cor(X, Y)$ , to samo co kowariancja znormalizowanych wersji $X$ i $Y$ ? To znaczy, jest $Cor(X, Y) = Cov(X_{standardized}, Y_{standardized})$ ?

correlation covariance standardization

— Jake Fisher
źródło

Tak.

${}{}{}{}{}$

— Dilip Sarwate,

\begin{aligned} Corr (X, Y) & = \frac{mi ((X - mi (X)) \times (Y - mi (Y)))}{S. re (X) \times S. re (Y)} \\ Cov (X_{znormalizowany}, Y_{znormalizowany}) & = mi [(\frac{(X - mi (X))}{(S. re (X))} - 0) \times (\frac{(Y - mi (Y))}{(S. re (Y))} - 0)] \\ = \frac{mi ((X - mi (X)) \times (Y - mi (Y)))}{S. re (X) \times S. re (Y)} \end{aligned}

$\begin{align} \operatorname{corr}(X,Y)&=\frac{E\Big((X-E(X))\times(Y-E(Y))\Big)}{SD(X)\times SD(Y)}\\ \operatorname{Cov}(X_{\text{standardized}}, Y_{\text{standardized}}) &=E\Bigg[\Bigg(\frac{(X - E(X))}{(SD(X))}-0\Bigg)\times\Bigg(\frac{(Y - E(Y))}{(SD(Y))}-0\Bigg)\Bigg]\\ &= \frac{E\Big((X-E(X))\times(Y-E(Y))\Big)}{SD(X)\times SD(Y)} \end{align}$ Więc tak!

— Hemant Rupani
źródło

Co???? Prawa strona pierwszego równania jest zmienną losową, podczas gdy lewa strona jest stałą.

— Dilip Sarwate

Błąd nr Pytanie dotyczy korelacji i kowariancji zmiennych losowych, a odpowiedź dotyczy próby korelacji i kowariancji . Na przykład wynik zapytał o blokady ciągłych zmiennych losowych, podczas gdy w najlepszym razie to, co masz, dotyczy tylko dyskretnych zmiennych losowych przyjmujących wartości

(X_{1}, Y_{1}), \dots, (X_{n}, Y_{n})

$(X_1,Y_1), \ldots, (X_n,Y_n)$ z jednakowym prawdopodobieństwem

\frac{1}{n}

$\frac 1n$ .

— Dilip Sarwate

Nie do końca. Nie potrzebujesz indeksów dolnych

i

$i$ w ogóle, więc poszedłem naprzód, usunąłem je i poprawiłem nieco prezentację. Jeśli zmiany Ci się nie podobają, możesz je wycofać.

— Dilip Sarwate

Zabierasz SD (X) i SD (Y) z oczekiwań. Proszę wyjaśnić uzasadnienie tego kroku.

— Erdogan CEVHER

Stałe @Erdogan można wyjąć poza funkcję Expected () bez zmian.

— Hemant Rupani,