Dodaje się dla o wartości losowych zmiennych. Rozszerzenie na inne spacje jest proste, jeśli jesteś zainteresowany. Twierdziłbym, że poniższa nieco bardziej ogólna definicja jest bardziej intuicyjna niż osobno, biorąc pod uwagę funkcje gęstości, masy i skumulowanego rozkładu.R -
W tekście zamieszczam pewne matematyczne / probabilistyczne terminy, aby były poprawne. Jeśli ktoś nie zna tych terminów, intuicja jest równie dobrze rozumiana przez samo myślenie o „zestawach Borela” jak o „dowolnym podzbiorze którym mogę myśleć”, a o zmiennej losowej wynik liczbowy jakiegoś eksperymentu z powiązane prawdopodobieństwo.R
Niech jest przestrzenią prawdopodobieństwa i X ( ω ) R - o wartości zmiennej losowej w tej przestrzeni.( Ω , F, P)X( ω )R -
Funkcja zestaw , gdzie jest zestaw Borel, nazywa rozkład X .Q ( A ) : = P( ω ∈ Ω : X( ω ) ∈ A )AX
Innymi słowy, rozkład mówi ci (luźno mówiąc), że dla dowolnego podzbioru prawdopodobieństwo X przyjmuje wartość w tym zbiorze. Można udowodnić, że Q jest całkowicie określone przez funkcję F ( x ) : = P ( X ≤ x ) i odwrotnie. Aby to zrobić - pomijając tutaj szczegóły - skonstruuj miarę na zestawach Borela, która przypisuje prawdopodobieństwo F ( x ) do wszystkich zbiorów ( - ∞ , x ) i argumentuje, że ta skończona miara zgadza się z Q naRXQF(x):=P(X≤x)F(x)(−∞,x)Q system generujący borel σ - algebrę.π−σ−
Jeśli tak się stanie, że można zapisać jako Q ( A ) = ∫ A f ( x ) d x, to f jest funkcją gęstości dla Q i widać, chociaż gęstość ta nie jest jednoznacznie określona (rozważ zmiany na zestawy miary Lebesgue'a zero), to ma sens również mówić o f jako dystrybucji X . Zwykle jednak, nazywamy to funkcja gęstości prawdopodobieństwa X .Q(A)Q(A)=∫Af(x)dxfQfXX
Podobnie, jeśli zdarza się, że można zapisać jako Q ( A ) = ∑ i ∈ A ∩ { … , - 1 , 0 , 1 , … } f ( i ) , wówczas sens ma mówienie o f jako rozkład X, chociaż zwykle nazywamy to funkcją masy prawdopodobieństwa.Q(A)Q(A)=∑i∈A∩{…,−1,0,1,…}f(i)fX
Tak więc, za każdym razem, gdy czytasz coś w rodzaju „ ma rozkład równomierny na [ 0 , 1 ] ”, oznacza to po prostu, że funkcja Q ( A ) , która mówi ci o prawdopodobieństwie, że X przyjmuje wartości w określonych zbiorach, charakteryzuje się funkcja gęstości prawdopodobieństwa f ( x ) = I [ 0 , 1 ] lub funkcja rozkładu skumulowanego F ( x ) = ∫ x - ∞ f ( t )X[0,1]Q(A)Xf(x)=I[0,1] .F(x)=∫x−∞f(t)dt
Ostatnia uwaga na temat przypadku, w którym nie ma wzmianki o zmiennej losowej, a jedynie rozkład. Można udowodnić, że biorąc pod uwagę funkcję rozkładu (lub funkcję masy, gęstości lub skumulowanego rozkładu), istnieje przestrzeń prawdopodobieństwa ze zmienną losową o takim rozkładzie. Zatem zasadniczo nie ma różnicy w mówieniu o rozkładzie lub o zmiennej losowej o tym rozkładzie. To tylko kwestia koncentracji.