Liniowa kombinacja dwóch losowych nienormalnych, która wciąż jest członkiem tej samej rodziny

Dobrze wiadomo, że liniowa kombinacja 2 losowych zmiennych normalnych jest również losową zmienną normalną. Czy istnieją jakieś wspólne niestandardowe rodziny dystrybucji (np. Weibull), które również dzielą tę właściwość? Wydaje się, że istnieje wiele kontrprzykładów. Na przykład liniowa kombinacja mundurów zwykle nie jest jednolita. W szczególności, czy istnieją jakieś nienormalne rodziny dystrybucji, w których spełnione są oba poniższe warunki:

1. Liniowa kombinacja dwóch zmiennych losowych z tej rodziny jest równoważna z pewnym rozkładem w tej rodzinie.
2. Wynikowy parametr (parametry) można zidentyfikować jako funkcję oryginalnych parametrów i stałych w kombinacji liniowej.

Szczególnie interesuje mnie ta kombinacja liniowa:

$Y = X_1 \cdot w + X_2 \cdot \sqrt{(1-w^2)}$

gdzie i są próbkowane z nietypowej rodziny o parametrach i , a pochodzi z tej samej nienormalnej rodziny o parametrze .$X_1$$X_2$$\theta_1$$\theta_2$$Y$$\theta_Y = f(\theta_1, \theta_2, w)$

Dla uproszczenia opisuję rodzinę dystrybucji z 1 parametrem, ale jestem otwarty na rodziny dystrybucji z wieloma parametrami.

Szukam też przykładów, w których jest dużo przestrzeni parametrów na i do pracy na potrzeby symulacji. Jeśli możesz znaleźć tylko przykład, który działa dla niektórych bardzo specyficznych i , byłoby to mniej pomocne.$\theta_1$$\theta_2$$\theta_1$$\theta_2$

Dobrze wiadomo, że liniowa kombinacja 2 losowych zmiennych normalnych jest również losową zmienną normalną. Czy istnieją jakieś wspólne niestandardowe rodziny dystrybucji (np. Weibull), które również dzielą tę właściwość?

Rozkład normalny spełnia ładną tożsamość splotową: . Jeśli odwołujesz się do centralnego twierdzenia o limicie, to na przykład te rozkłady gamma o tym samym współczynniku kształtu miałyby tę samą właściwość i byłyby zbieżne jak rozkłady gamma. Zobacz Uwaga ostrzegawcza dotycząca odwołania się do twierdzenia o limicie centralnym . Ogólnie jednak, przy nierównych współczynnikach kształtu, rozkłady gamma „dodają” przez splot, który nie byłby rozkładem gamma, ale raczej funkcją gamma zwielokrotniającą funkcję hipergeometryczną pierwszego rodzaju, jak stwierdzono w równaniu. (2) z$X_1\sim N\left[\mu _1,\sigma _1^2\right],X_2\sim N\left[\mu _2,\sigma _2^2\right]\Longrightarrow X_1+X_2\sim N\left[\mu _1+\mu _2,\sigma _1^2+\sigma _2^2\right]$splot dwóch rozkładów gamma . Inna definicja dodawania, czyli tworzenia rozkładu mieszanin niepowiązanych procesów, niekoniecznie wykazywałaby centralną granicę, na przykład, gdyby środki były różne.

Są prawdopodobnie inne przykłady, nie przeprowadziłem wyczerpującego wyszukiwania. Zamknięcie splotu nie wydaje się zbyt dalekie. W przypadku kombinacji liniowej produktem Pearson VII z Pearson VII jest kolejny Pearson VII .

Dobrze wiadomo, że liniowa kombinacja 2 losowych zmiennych normalnych jest również losową zmienną normalną. Czy istnieją jakieś wspólne niestandardowe rodziny dystrybucji (np. Weibull), które również dzielą tę właściwość?

Wygląda na to, że szukasz klasy dystrybucji stabilnych w systemie Levy . To jest klasa wszystkich dystrybucji które spełniają właściwość stabilności:$\mathscr{P}$$\mathcal{P} \in \mathscr{P}$

Innymi słowy, dla każdego rozkładu w tej klasie, jeśli weźmiesz funkcję liniową dwóch niezależnych zmiennych losowych z tym rozkładem, to ma on taki sam rozkład jak funkcja afiniczna pojedynczej zmiennej losowej z tym rozkładem. (Należy zauważyć, że ten wymóg stabilności można zaostrzyć, ustawiając , co daje podklasę ściśle stabilnych rozkładów.)$d=0$

Rozkłady stabilne podatkowo można uznać za odrębną rodzinę rozkładów iw tym sensie jest to jedyna rodzina rozkładów z tą właściwością stabilności, ponieważ (z definicji) obejmuje wszystkie rozkłady z tą właściwością. Rozkład normalny mieści się w klasie dystrybucji Levy-stabilne, tak jak rozkład Cauchy'ego , do dystrybucji Landau , a rozkład Holtsmark .