To pytanie jest nieco niechlujne, ale w celu uzupełnienia tego uwzględnię kolorowe wykresy! Najpierw tło, a następnie pytanie.

tło

Załóżmy, że masz wymiarowy rozkład wielomianowy z jednakowymi probailitami w kategoriach . Niech będzie znormalizowanymi ( ) z tego rozkładu, to znaczy:$n$$n$$\pi = (\pi_1, \ldots, \pi_n)$$c$

Teraz rozkład w ma obsługę -simplex, ale z dyskretnymi krokami. Na przykład przy ten rozkład ma następujące wsparcie (czerwone kropki):$\pi$$n$$n = 3$

Innym rozkładem o podobnym wsparciu jest rozkład -dimensional , czyli równomierny rozkład w jednostce jednostronnej. Na przykład tutaj losowe losowania z 3-dimeional :Dirichlet ( 1 , … , 1 ) Dirichlet ( 1 , 1 , 1 $n$$\text{Dirichlet}(1, \ldots, 1)$$\text{Dirichlet}(1, 1, 1)$

Teraz wpadłem na pomysł, że rozkład z rozkładu można scharakteryzować jako czerpanie z które są dyskretne do dyskretnej obsługi . Dyskretyzacja, o której myślałem (i wydaje się, że działa dobrze), polega na uwzględnieniu każdego punktu w jednostce drukowanej i „zaokrągleniu” do najbliższego punktu, który jest . W przypadku trójwymiarowego simpleksu otrzymujesz następującą partycję, w której punkty w każdym kolorowym obszarze powinny „zaokrąglić” do najbliższego czerwonego punktu:Wielomianowe ( 1 / n , … , 1 / n ) Dirichlet ( 1 , … , 1 ) π $\pi$$\text{Multinomial}(1/n, \ldots, 1/n)$$\text{Dirichlet}(1, \ldots, 1)$$\pi$$\pi$

Ponieważ rozkład Dirichleta jest jednolity, wynikowa gęstość / prawdopodobieństwo dla każdego z punktów jest proporcjonalne do powierzchni / objętości, która zostaje „zaokrąglona” do każdego punktu. Dla przypadków dwuwymiarowych i trójwymiarowych prawdopodobieństwa te są następujące:

( te prawdopodobieństwa pochodzą z symulacji Monte Carlo )

Wydaje się więc, że przynajmniej dla 2 i 3 wymiarów wynikowy rozkład prawdopodobieństwa z dyskretyzacji w ten konkretny sposób jest taki sam jak rozkład prawdopodobieństwa dla . Jest to znormalizowany wynik dystrybucji . Próbowałem również z 4-wymiarami i wydaje się, że tam działa.π Wielomian ( 1 / n , … , 1 / n $\text{Dirichlet}(1, \ldots, 1)$$\pi$$\text{Multinomial}(1/n, \ldots, 1/n)$

Pytania)

Więc moje główne pytanie brzmi:

Czy dyskretyzując jednolity Dirichlet w ten konkretny sposób, czy relacja z dla dalszych wymiarów? Czy relacja w ogóle się utrzymuje? (Próbowałem tego tylko przy użyciu symulacji Monte Carlo ...)$\text{Multinomial}(1/n, \ldots, 1/n)$

Dalej zastanawiam się:

• Jeśli ta relacja się utrzymuje, czy jest to znany wynik? Czy jest jakieś źródło, które mogę zacytować?
• Jeśli ta dyskretyzacja jednolitego Dirichleta nie ma tego związku z Wielomianem. Czy istnieje jakaś podobna konstrukcja?

Jakiś kontekst

Moim powodem zadania tego pytania jest to, że patrzę na podobieństwo między nieparametrycznym Bootstrapem a Bayesowskim Bootstrapem, a potem to się pojawiło. Zauważyłem również, że wzór na kolorowych obszarach na trójwymiarowym simpleksie powyżej wygląda (i powinien być) diagram Voronoi. Jednym ze sposobów (mam nadzieję), że można o tym pomyśleć, jest sekwencja trójkąta Pascala / Simpexa ( http://www.math.rutgers.edu/~erowland/pascalssimplices.html ). Tam, gdzie rozmiar kolorowych obszarów jest zgodny z drugim rzędem trójkąta Pascala w przypadku 2-d, trzeci rząd czworościanu Pascala w przypadku 3-d i tak dalej. To wyjaśniałoby związek z rozkładem wielomianowym, ale tutaj jestem naprawdę w głębokiej wodzie ...

Te dwie dystrybucje są różne dla każdego .$n \geq 4$

Notacja

Zamienię przeskalować twój simpleks o współczynnik , aby punkty sieci miały współrzędne całkowite. To nic nie zmienia, myślę, że to sprawia, że ​​notacja jest nieco mniej kłopotliwa.$n$

Niech będzie prostym , podanym jako wypukły kadłub punktów , ..., w . Innymi słowy, są to punkty, w których wszystkie współrzędne są nieujemne, i gdzie współrzędne sumują się do .( n - 1 ) ( n , 0 , … , 0 ) ( 0 , … , 0 , n ) R n$S$$(n-1)$$(n,0,\ldots,0)$$(0,\ldots,0,n)$$\mathbb R^{n}$$n$

Niech oznacza zbiór punktów sieci , tj. Te punkty w których wszystkie współrzędne są integralne.$\Lambda$$S$

Jeśli jest punktem sieci, pozwalamy oznaczać jego komórkę Voronoi , zdefiniowaną jako te punkty w które są (ściśle) bliższe niż do dowolnego innego punktu w .V P S P $P$$V_P$$S$$P$$\Lambda$

Umieszczamy dwa rozkłady prawdopodobieństwa, które możemy umieścić na . Jednym z nich jest rozkład wielomianowy, w którym punkt ma prawdopodobieństwo . Drugi nazwiemy modelem Dirichleta i przypisuje on każdemu prawdopodobieństwo proporcjonalne do objętości .( 1 , . . . , N ) 2 - N N ! / ( a 1 ! ⋯ a n ! ) P ∈ Λ V $\Lambda$$(a_1, ..., a_n)$$2^{-n} n!/(a_1! \cdots a_n!)$$P \in \Lambda$$V_P$

Bardzo nieformalne uzasadnienie

Twierdzę, że model wielomianowy i model Dirichleta dają różne rozkłady w , ilekroć .n ≥ $\Lambda$$n \geq 4$

Aby to zobaczyć, rozważ przypadek , a punkty i . Twierdzę, że i są przystające poprzez tłumaczenie przez wektor . Oznacza to, że i mają tę samą objętość, a zatem że i mają takie samo prawdopodobieństwo w modelu Dirichleta. Z drugiej strony w modelu wielomianowym mają różne prawdopodobieństwa ( I ), I to wynika z tego, że rozkłady nie mogą być równe.A = ( 2 , 2 , 0 , 0 ) B = ( 3 , 1 , 0 , 0 ) V A V B ( 1 , - 1 , 0 , 0 ) V A V B A B 2 - 4 ⋅ 4 ! / ( 2 ! 2 ! ) 2 - $n=4$$A = (2,2,0,0)$$B=(3,1,0,0)$$V_A$$V_B$$(1,-1,0,0)$$V_A$$V_B$$A$$B$$2^{-4} \cdot 4!/(2!2!)$$2^{-4} \cdot 4!/3!$

Fakt, że i są zgodne, wynika z następującego prawdopodobnego, ale nieoczywistego (i nieco niejasnego) twierdzenia:V $V_A$$V_B$

Możliwe twierdzenie : Na kształt i rozmiar wpływ mają tylko „bezpośredni sąsiedzi” (tj. Te punkty w które różnią się od przez wektor, który wygląda jak , gdzie i mogą znajdować się w innych miejscach) P Λ P ( 1 , - 1 , 0 , … , 0 ) 1 - $V_P$$P$$\Lambda$$P$$(1,-1,0,\ldots,0)$$1$$-1$

Łatwo zauważyć, że konfiguracje „bezpośrednich sąsiadów” i są takie same, a następnie wynika, że i są przystające.B V A V $A$$B$$V_A$$V_B$

W przypadku, gdy , możemy grać w tę samą grę, z i , na przykład.A = ( 2 , 2 , n - 4 , 0 , … , 0 ) B = ( 3 , 1 , n - 4 , 0 , … , 0 $n \geq 5$$A = (2,2,n-4,0,\ldots,0)$$B=(3,1,n-4,0,\ldots,0)$

Nie sądzę, że to twierdzenie jest całkowicie oczywiste i nie zamierzam tego udowodnić, zamiast nieco innej strategii. Myślę jednak, że jest to bardziej intuicyjna odpowiedź na pytanie, dlaczego rozkłady są różne dla .$n \geq 4$

Rygorystyczny dowód

Weź i jak w powyższym nieformalnym uzasadnieniu. Musimy tylko udowodnić, że i są zgodne.B V A V $A$$B$$V_A$$V_B$

Biorąc pod uwagę , zdefiniujemy w następujący sposób: jest zbiorem punktów , dla których . (W bardziej przyswajalny sposób: Niech . jest zbiorem punktów, dla których różnica między najwyższym i najniższym jest mniejsza niż 1.)W P W P ( x 1 , … , x n ) ∈ S max 1 ≤ i ≤ n ( a i - p i ) - min 1 ≤ i ≤ n ( a i - p i ) < 1 v i = $P = (p_1, \ldots, p_n) \in \Lambda$$W_P$$W_P$$(x_1, \ldots, x_n) \in S$$\max_{1 \leq i \leq n} (a_i - p_i) - \min_{1 \leq i \leq n} (a_i - p_i) < 1$W P v $v_i = a_i - p_i$$W_P$$v_i$

Pokażemy, że .$V_P = W_P$

Krok 1

Roszczenie: .$V_P \subseteq W_P$

Jest to dość łatwe: Załóżmy, że nie ma w . Niech i załóżmy (bez utraty ogólności), że , . Ponieważ , wiemy również, że .W P v i = x i - p i v 1 = max 1 ≤ i ≤ n v i v 2 = min 1 ≤ i ≤ n v i v 1 - v 2 ≥ 1 ∑ n i = 1 v i = 0 v $X = (x_1, \ldots, x_n)$$W_P$$v_i = x_i - p_i$$v_1 = \max_{1\leq i\leq n} v_i$$v_2 = \min_{1\leq i\leq n} v_i$$v_1 - v_2 \geq 1$$\sum_{i=1}^n v_i = 0$$v_1 > 0 > v_2$

Niech teraz . Ponieważ zarówno i mają nieujemne współrzędne, podobnie , i wynika z tego, że , a więc . Z drugiej strony, . Zatem jest co najmniej tak blisko jak , więc . To pokazuje (przyjmując uzupełnienia), że .P X Q Q ∈ S Q ∈ Λ d i s t 2 ( X , P ) - d i s t 2 ( X , Q ) = v 2 1 + v 2 2 - $Q = (p_1 + 1, p_2 - 1, p_3, \ldots, p_n)$$P$$X$$Q$$Q \in S$$Q \in \Lambda$X Q P X ∉ V P V p ⊆ W $\mathrm{dist}^2(X, P) - \mathrm{dist}^2(X, Q) = v_1^2 + v_2^2 - (1-v_1)^2 - (1+v_2)^2 = -2 + 2(v_1 - v2) \geq 0$$X$$Q$$P$$X \not\in V_P$$V_p \subseteq W_P$

Krok 2

Twierdzenie : są rozłączne parami.$W_P$

Załóżmy inaczej. Niech i będą odrębnymi punktami w i niech . Ponieważ i są różne i oba w , musi istnieć jeden indeks gdzie , i jeden, gdzie . Bez utraty ogólności przyjmujemy, że i . Ponownie rozmieszczając i dodając, otrzymujemy .Q = ( q 1 , … , q n ) Λ X ∈ W P ∩ W Q P Q Λ i p i ≥ q i + 1 p i ≤ q i - 1 p 1 ≥ q 1 + 1 p 2 ≤ q 2$P=(p_1,\ldots, p_n)$$Q = (q_1,\ldots,q_n)$$\Lambda$$X \in W_P \cap W_Q$$P$$Q$$\Lambda$$i$$p_i \geq q_i + 1$$p_i \leq q_i - 1$$p_1 \geq q_1 + 1$q 1 - p 1 + p 2 - q 2 ≥ $p_2 \leq q_2 - 1$$q_1 - p_1 + p_2 - q_2 \geq 2$

Rozważ teraz liczby i . Z faktu, że , mamy . Podobnie oznacza, że . Łącząc je, otrzymujemy , i mamy sprzeczność.x 2 X ∈ W P x 1 - p 1 - ( x 2 - p 2 ) < 1 X ∈ W Q x 2 - q 2 - ( x 1 - q 1 ) < 1 q 1 - p 1 + p 2 - q 2 < $x_1$$x_2$$X \in W_P$$x_1 - p_1 - (x_2 - p_2) < 1$$X \in W_Q$$x_2 - q_2 - (x_1 - q_1) < 1$$q_1 - p_1 + p_2 - q_2 < 2$

Krok 3

Wykazaliśmy, że i że są rozłączne. pokrywa do zestawu miary zero, i stąd, że (do zestawu środka zero). [Ponieważ zarówno i są otwarte, faktycznie mamy dokładnie , ale nie jest to konieczne.]W P V P S W P = V P W P V P W P = V $V_P \subseteq W_P$$W_P$$V_P$$S$$W_P = V_P$$W_P$$V_P$$W_P = V_P$

Teraz już prawie skończyliśmy. Rozważ punkty i . Łatwo zauważyć, że i są przystające i tłumaczą się nawzajem: jedynym sposobem, w jaki mogą się różnić, jest to, że granica (inna niż twarze, na których leżą obie i ) `` odcina się '' albo lub ale nie drugiej. Ale aby osiągnąć taką część granicy , musielibyśmy zmienić jedną współrzędną lub o co najmniej 1, co wystarczyłoby, aby zagwarantować nam wyprowadzenie z$A = (2,2,n-4,0,\ldots,0)$$B = (3,1,n-4,0,\ldots,0)$$W_A$$W_B$$S$$A$$B$$W_A$$W_B$$S$$A$$B$$W_A$i tak. Tak więc, chociaż wygląda inaczej niż punkty obserwacyjne i , różnice są zbyt daleko, aby można je było w definicjach i , a zatem i są przystające.$W_B$$S$$A$$B$$W_A$$W_B$$W_A$$W_B$

Wynika z tego, że i mają tę samą objętość, a zatem model Dirichleta przypisuje im takie samo prawdopodobieństwo, mimo że mają różne prawdopodobieństwa w modelu wielomianowym.$V_A$$V_B$