Zrozumienie formuły różnicowania ułamkowego

Mam szereg czasowy $y_t$i chciałbym modelować to jako proces ARFIMA (alias FARIMA). Jeśli jest zintegrowane z (ułamkowym) rzędem , chciałbym różnicować go ułamkowo, aby stał się nieruchomy.$y_t$$d$

Pytanie : czy następujący wzór definiujący różnicowanie ułamkowe jest poprawny?

$\Delta^d y_t := y_t - d y_{t-1} + \frac{d(d-1)}{2!} y_{t-2} - \frac{d(d-1)(d-2)}{3!} y_{t-3} + ... +(-1)^{k+1} \frac{d(d-1) \cdot ... \cdot (d-k)}{k!} y_{t-k} + ...$

(Tutaj oznacza różnicowanie ułamkowe rzędu .)$\Delta^d$$d$

Opieram formułę na tym artykule w Wikipedii na temat ARFIMA , rozdział ARFIMA ( ), ale nie jestem pewien, czy otrzymałem ją poprawnie.$0,d,0$

Tak, wydaje się być poprawne. Filtr ułamkowy jest zdefiniowany przez rozwinięcie dwumianowe:

$\Delta^{d}=\left(1-L\right)^{d}=1-dL+\frac{d\left(d-1\right)}{2!}L^{2}-\frac{d\left(d-1\right)\left(d-2\right)}{3!}L^{3}+\cdots$

Zauważ, że $L$ jest operatorem opóźnienia i tego filtra nie można uprościć, kiedy $0<d<1$. Teraz rozważ proces:

$\Delta^{d}X_{t}=\left(1-L\right)^{d}X_{t}=\varepsilon_{t}$

Rozwijając się, otrzymujemy:

$\Delta^{d}X_{t}=\left(1-L\right)^{d}X_{t}=X_{t}-dLX_{t}+\frac{d\left(d-1\right)}{2!}L^{2}X_{t}-\frac{d\left(d-1\right)\left(d-2\right)}{3!}L^{3}X_{t}+\cdots=\varepsilon_{t}$

które można zapisać jako:

$X_{t}=dX_{t-1}-\frac{d\left(d-1\right)}{2!}X_{t-2}+\frac{d\left(d-1\right)\left(d-2\right)}{3!}X_{t-3}-\cdots+\varepsilon_{t}$

Patrz: Dynamika cen aktywów, zmienność i prognozy autorstwa Stephena J. Taylora (s. 243 w wydaniu z 2007 r.) Lub Szeregi czasowe: Teoria i metody Brockwella i Davisa w celu uzyskania dalszych odniesień.