Intuicyjne wyjaśnienie gęstości transformowanej zmiennej?

Załóżmy, że jest zmienną losową z pdf . Zatem zmienna losowa ma pdf $X$ $f_X(x)$ $Y=X^2$

f_{Y} (y) = {\begin{cases} \frac{1}{2 \sqrt{y}} (f_{X} (\sqrt{y}) + f_{X} (- \sqrt{y})) & y \geq 0 \\ 0 & y < 0 \end{cases}

$f_Y(y)=\begin{cases}\frac{1}{2\sqrt{y}}\left(f_X(\sqrt{y})+f_X(-\sqrt{y})\right) & y \ge 0 \\ 0 & y \lt 0\end{cases}$

Rozumiem rachunek za tym. Ale próbuję wymyślić sposób, aby wyjaśnić to komuś, kto nie zna rachunku różniczkowego. W szczególności próbuję wyjaśnić, dlaczego czynnik pojawia się z przodu. Zrobię to nożem: $\frac{1}{\sqrt{y}}$

Załóżmy, że ma rozkład Gaussa. Prawie cały ciężar jego PDF jest między wartościami, powiedzmy, i Ale to mapy do 0 do 9, . Tak, to waga ciężka w pdf do został rozszerzony w szerszym zakresie wartości w transformacji do . Tak więc, aby był prawdziwym pdf, dodatkowa waga musi zostać zmniejszona przez mnożnik $X$ $-3$ $3.$ $Y$ $X$ $Y$ $f_Y(y)$ $\frac{1}{\sqrt{y}}$

Jak to brzmi?

Jeśli ktoś może podać własne wyjaśnienie lub link do jednego z nich w dokumencie lub podręczniku, bardzo to doceniam. Ten przykład transformacji zmiennej znajduję w kilku wstępach do matematycznych prawdopodobieństw / statystyk. Ale nigdy nie znajduję w tym intuicyjnego wyjaśnienia :(

random-variable pdf intuition

— lowndrul
źródło

Myślę, że twoje wyjaśnienie jest poprawne.

— highBandWidth

Wyjaśnienie jest słuszne, ale ma charakter wyłącznie jakościowy: dokładna forma mnożnika jest nadal tajemnicą. Moc -1/2 po prostu pojawia się magicznie. Dlatego na pewnym poziomie musisz zrobić to samo, co robi Rachunek: znaleźć szybkość zmiany funkcji pierwiastka kwadratowego.

— whuber

Odpowiedzi:

Pliki PDF mają wysokość, ale służą do przedstawienia prawdopodobieństwa za pomocą obszaru. Dlatego pomaga wyrazić plik PDF w sposób przypominający nam, że obszar jest równy wysokości razy podstawa.

Początkowo wysokość przy dowolnej wartości jest podana w pliku PDF . Podstawą jest nieskończenie segment , skąd rozkład (tj. Miara prawdopodobieństwa w przeciwieństwie do funkcji rozkładu ) jest tak naprawdę formą różniczkową lub „elementem prawdopodobieństwa” $x$ $f_X(x)$ $dx$

{PE}_{X} (x) = f_{X} (x) d x .

$\operatorname{PE}_X(x) = f_X(x) \, dx.$

Jest to obiekt, a nie PDF, z którym chcesz pracować zarówno koncepcyjnie, jak i praktycznie, ponieważ zawiera wszystkie elementy potrzebne do wyrażenia prawdopodobieństwa.

Kiedy ponownie wyrażamy w kategoriach , segmenty podstawowe zostają rozciągnięte (lub ściśnięte): przez podniesienie kwadratów obu końców przedziału od do widzimy, że podstawa obszaru musi być przedział długości $x$ $y = x^2$ $dx$ $x$ $x + dx$ $y$

d y = (x + d x)^{2} - x^{2} = 2 x d x + (d x)^{2} .

$dy = (x + dx)^2 - x^2 = 2 x \, dx + (dx)^2.$

Ponieważ iloczyn dwóch nieskończoności jest znikomy w porównaniu do samych nieskończoności, dochodzimy do wniosku

d y = 2 x d x, whence d x = \frac{d y}{2 x} = \frac{d y}{2 \sqrt{y}} .

$dy = 2 x \, dx, \text{ whence }dx = \frac{dy}{2x} = \frac{dy}{2\sqrt{y}}.$

Po ustaleniu tego obliczenia są banalne, ponieważ po prostu podłączamy nową wysokość i nową szerokość:

{PE}_{X} (x) = f_{X} (x) d x = f_{X} (\sqrt{y}) \frac{d y}{2 \sqrt{y}} = {PE}_{Y} (y) .

$\operatorname{PE}_X(x) = f_X(x) \, dx = f_X(\sqrt{y}) \frac{dy}{2\sqrt{y}} = \operatorname{PE}_Y(y).$

Ponieważ podstawą, pod względem , jest , cokolwiek się zwielokrotnia, musi to być wysokość, którą możemy odczytać bezpośrednio ze środkowego terminu jako $y$ $dy$

\frac{1}{2 \sqrt{y}} f_{X} (\sqrt{y}) = f_{Y} (y) .

$\frac{1}{2\sqrt{y}}f_X(\sqrt{y}) = f_Y(y).$

To równanie nazwa nazwa skutecznie prawo powierzchni (= prawdopodobieństwo). $\operatorname{PE}_X(x) = \operatorname{PE}_Y(y)$

Dwa pliki PDF

Ta grafika dokładnie pokazuje wąskie (prawie nieskończenie małe) fragmenty dwóch plików PDF powiązanych przez . Prawdopodobieństwa są reprezentowane przez zacienione obszary. Ze względu na ściśnięcie przedziału przez kwadraty, wysokość czerwonego obszaru ( , po lewej) musi zostać proporcjonalnie powiększona, aby pasowała do obszaru niebieskiego obszaru ( , po prawej). $y=x^2$ $[0.32, 0.45]$ $y$ $x$

— Whuber
źródło

Kocham nieskończenie małe. To wspaniałe wyjaśnienie. Myślenie w kategoriach , które wyraźnie widać jako pochodną transformacji, jest znacznie bardziej intuicyjne niż myślenie w kategoriach . Myślę, że tam był mój punkt zaczepienia.

2 x

$2x$

\sqrt{y}

$\sqrt{y}$

— lowndrul

@ whuber, uważam, że pierwszą linią powinien być ? Czy to masz na myśli przez ? PS: ciekawi mnie również twoich przemyśleń na temat mojej odpowiedzi (poniżej).

P (X \in (x, x + d x)) = f_{x} (x) d x

$P(X \in (x, x + dx)) = f_{x}(x)dx$

{pdf}_{X} (x)

$\text{pdf}_{X}(x)$

— Carlos Cinelli

@Carlos To trochę bardziej rygorystyczne, aby wyrazić ten pomysł w sposób, w jaki ja to zrobiłem na początku: PDF jest tym, przez co mnożymy miarę Lebesgue'a , aby otrzymać podaną miarę prawdopodobieństwa.

d x

$\mathrm{d}x$

— whuber

@ Whuber, ale jeśli pdf jest tym, co zwielokrotniasz, to jest to , a nie produkt jak napisałeś, prawda? Nie jest jasne, dlaczego nazywacie produkt pdf.

f_{X} (x)

$f_{X}(x)$

f_{x} (x) d x

$f_{x}(x)dx$

f_{X} (x) d x

$f_{X}(x)dx$

— Carlos Cinelli

@Carlos: dziękuję; teraz rozumiem twój punkt widzenia. Wprowadziłem kilka zmian, aby rozwiązać ten problem.

— whuber

Co powiesz na to, że jeśli produkuję obiekty, które są zawsze kwadratowe i znam rozkład długości boków kwadratów; co mogę powiedzieć o rozkładzie obszarów kwadratów?

W szczególności, jeśli znam rozkład losowej zmiennej , co mogę powiedzieć o ? Jedną rzeczą, którą możesz powiedzieć, jest $X$ $Y = X^{2}$

\begin{aligned} F_{Y} (c) & = & P (Y \leq c) \\ = & P (X^{2} \leq c) \\ = & P (- \sqrt{c} \leq X \leq \sqrt{c}) \\ = & F_{X} (\sqrt{c}) - F_{X} (- \sqrt{c}) . \end{aligned}

$\eqalign{ F_{Y} (c) & = & P( Y \le c ) \\ & = & P( X^{2} \le c ) \\ & = & P ( - \sqrt{c} \le X \le \sqrt{c}) \\ & = & F_{X}( \sqrt{c} ) - F_{X}( - \sqrt{c} ). \\ }$

Tak więc istnieje związek między CDF z i CDF z ; jaki jest związek między ich plikami PDF? Potrzebujemy do tego rachunku. Biorąc pochodne obu stron daje pożądane wyniki. $Y$ $X$

— schenectady
źródło

(+1) Chociaż nie jest to pełna odpowiedź, jest to dobry sposób na znalezienie i jasno pokazuje, dlaczego jest to suma dwóch elementów, po jednym na pierwiastek kwadratowy.

f_{Y}

$f_Y$

— whuber

Nie rozumiem, dlaczego pdf (x) = f (x) dx. Co z pdf (x) dx = f (x), density = prob mass/interval... co się mylę?

— Fernando

Wyobraź sobie, że mamy populację, a jest podsumowaniem tej populacji. Następnie liczy odsetek osób, które mają zmienną w zakresie . Możesz to uznać za „kosz” o rozmiarze a my liczymy, ile osób jest w tym koszu. $Y$ $P(Y \in (y, y + \Delta y))$ $Y$ $(y, y + \Delta y)$ $\Delta y$

Teraz nam ponownie wyrazić te osoby pod względem innej zmiennej, . Biorąc pod uwagę, że wiemy, że i są powiązane jako , zdarzenie jest takie samo jak zdarzenie który jest taki sam jak zdarzenie . Zatem osoby, które są w koszu muszą również znajdować się w przedziałach i . Innymi słowy, te kosze muszą mieć taki sam odsetek osób, $X$ $Y$ $X$ $Y = X^2$ $Y\in (y, y + \Delta y)$ $X^2 \in (x^2, (x + \Delta x)^2)$ $X \in (|x|, |x| + \Delta x)~ \text{or}~ X \in (- |x| -\Delta x, -|x| )$ $(y, y + \Delta y)$ $(|x|, |x| + \Delta x)$ $(- |x| -\Delta x, -|x| )$

\begin{aligned} P (Y \in (y, y + Δ y)) & = P (X \in (| x |, | x | + Δ x)) + P (X \in (- | x | - Δ x, - | x |)) \end{aligned}

$\begin{align} P(Y \in (y, y + \Delta y)) &=P\left( X \in (|x|, |x| + \Delta x) \right) + P\left( X \in (- |x| -\Delta x, -|x| )\right) \end{align}$

Ok, przejdźmy teraz do gęstości. Najpierw musimy zdefiniować, jaka jest gęstość prawdopodobieństwa . Jak sama nazwa wskazuje, jest to odsetek osobników na obszar . Oznacza to, że liczymy udział osób w tym pojemniku i dzielimy przez jego rozmiar . Ponieważ ustaliliśmy, że proporcje ludzi są tutaj takie same, ale rozmiar pojemników zmienił się, dochodzimy do wniosku, że gęstość będzie inna. Ale różni się o ile?

Jak powiedzieliśmy, gęstość prawdopodobieństwa jest proporcją ludzi w koszu podzieloną przez rozmiar bin, dlatego gęstość jest dana przez . Analogicznie gęstość prawdopodobieństwa jest dana przez . $Y$ $f_Y(y):=\frac{P(Y \in (y, y + \Delta y))}{\Delta y}$ $X$ $f_X(x):=\frac{P(X \in (x, x + \Delta x))}{\Delta x}$

Z naszego poprzedniego wyniku, że populacja w każdym pojemniku jest taka sama, mamy to,

\begin{aligned} f_{Y} (y) := \frac{P (Y \in (y, y + Δ y))}{Δ y} & = \frac{P (X \in (| x |, | x | + Δ x)) + P (X \in (- | x | - Δ x, - | x |))}{Δ y} \\ = \frac{f_{X} (| x |) Δ x + f_{X} (- | x |) Δ x}{Δ y} \\ = \frac{Δ x}{Δ y} (f_{X} (| x |) + f_{X} (- | x |)) \\ = \frac{Δ x}{Δ y} (f_{X} (\sqrt{y}) + f_{X} (- \sqrt{y})) \end{aligned}

$\begin{align} f_Y(y):=\frac{P(Y \in (y, y + \Delta y))}{\Delta y} &= \frac{P\left( X \in (|x|, |x| + \Delta x) \right) + P\left( X \in (- |x| - \Delta x, -|x| )\right)}{\Delta y} \\ &= \frac{f_X(|x|)\Delta x + f_{X}(-|x|)\Delta x}{\Delta y}\\ &= \frac{\Delta x}{\Delta y} \left(f_X(|x|) + f_{X}(-|x|) \right)\\ &= \frac{\Delta x}{\Delta y} \left(f_X(\sqrt{y}) + f_{X}(-\sqrt{y}) \right) \end{align}$

Oznacza to, że gęstość zmienia się o współczynnik , który jest względnym rozmiarem rozciągania lub ściskając rozmiar pojemnika. W naszym przypadku, ponieważ mamy to, że . Jeśli jest wystarczająco mała, możemy zignorować , co oznacza, że i , i dlatego w transformacji pojawia się współczynnik . $f_X(\sqrt{y}) + f_{X}(-\sqrt{y})$ $\frac{\Delta x}{\Delta y}$ $y = x^2$ $y + \Delta y = (x + \Delta x )^2 = x^2 + 2x \Delta x + \Delta x^2$ $\Delta x$ $\Delta x ^2$ $\Delta y = 2x \Delta x$ $\frac{\Delta x}{\Delta y} = \frac{1}{2x} = \frac{1}{2 \sqrt{y}}$ $\frac{1}{2 \sqrt{y}}$

— Carlos Cinelli
źródło