Jak wygenerować równomiernie losowe ortogonalne macierze determinanty dodatniej?

Mam chyba głupie pytanie, które muszę przyznać, że jestem zdezorientowany. Wyobraź sobie powtarzające się generowanie równomiernie rozmieszczonej losowej macierzy ortogonalnej (ortonormalnej) o pewnym rozmiarze . Czasami wygenerowana macierz ma wyznacznik a czasem ma wyznacznik . (Istnieją tylko dwie możliwe wartości. Z punktu widzenia rotacji ortogonalnej oznacza, że ​​oprócz rotacji istnieje jeszcze jedno odbicie).$p$$1$$-1$$\det=-1$

Możemy zmienić znak $\det$ z macierzy ortogonalnej od minus do Plus zmieniając znak jakiegokolwiek jednego (lub, bardziej ogólnie, każda nieparzysta liczba) kolumnie niego.

Moje pytanie brzmi: biorąc pod uwagę, że wielokrotnie generujemy takie losowe macierze, czy wprowadzimy jakieś odchylenie w ich jednolitej losowej naturze, jeśli za każdym razem zdecydujemy się cofnąć znak tylko określonej kolumny (powiedzmy, zawsze 1. lub zawsze ostatni)? Albo powinniśmy mieć , aby wybrać kolumnę losowo w celu utrzymania matryc reprezentować losowy równomiernie rozłożony kolekcję?

Wybór kolumny nie ma znaczenia: wynikowy rozkład na specjalnych macierzach ortogonalnych, $SO(n)$ , jest nadal jednolity.

Wyjaśnię to, używając argumentu, który w oczywisty sposób rozciąga się na wiele powiązanych pytań dotyczących jednolitego generowania elementów grup. Każdy krok tego argumentu jest trywialny i wymaga jedynie odniesienia do odpowiednich definicji lub prostego obliczenia (takiego jak zauważenie, że macierz $\mathbb{I}_1$ jest ortogonalna i odwrotna do siebie).

Argumentem jest uogólnienie znanej sytuacji. Rozważmy zadanie rysunek dodatnich liczb rzeczywistych według określonego rozkładu ciągłego . Można tego dokonać, rysując dowolną liczbę rzeczywistą z ciągłego rozkładu i negując wynik, jeśli to konieczne, aby zagwarantować dodatnią wartość (prawie na pewno). Aby proces ten miał rozkład , musi mieć tę właściwość$F$$G$$F$$G$

$$G(x) - G(-x) = F(x).$$

Najprostszym sposobem na osiągnięcie tego jest, gdy jest symetryczne wokół więc , pociągając za sobą : wszystkie prawdopodobieństwa dodatnie gęstości są po prostu podwojone, a wszystkie negatywne wyniki są eliminowane. Znajomy związek między rozkładem półnormalnym ( ) a rozkładem normalnym ( ) jest tego rodzaju.$G$$0$$G(x) - 1/2 = 1/2 - G(-x)$$F(x) = 2G(x) - 1$$F$$G$

Poniżej grupa odgrywa rolę niezerowych liczb rzeczywistych (uważanych za grupę multiplikatywną ), a jej podgrupa odgrywa rolę dodatnich liczb rzeczywistych . Miara Haar jest niezmienna pod negacją, więc kiedy jest „złożona” z do , rozkład wartości dodatnich nie zmienia się . (Miary tej niestety nie można znormalizować do miary prawdopodobieństwa - ale to jedyny sposób, w jaki analogia się załamuje).$O(n)$$SO(n)$$\mathbb{R}_{+}$$dx/x$$\mathbb{R}-\{0\}$$\mathbb{R}_{+}$

Negowanie określonej kolumny macierzy ortogonalnej (gdy jej wyznacznik jest ujemny) jest analogią do negowania ujemnej liczby rzeczywistej w celu złożenia jej w dodatnią podgrupę. Mówiąc bardziej ogólnie, można wcześniej wybrać dowolną macierz ortogonalną o ujemnym wyznaczniku i użyć jej zamiast : wyniki byłyby takie same.$\mathbb{J}$$\mathbb{I}_1$

---

Chociaż pytanie jest sformułowane w kategoriach generowania zmiennych losowych, tak naprawdę pyta o rozkłady prawdopodobieństwa w grupach macierzy i . Połączenie między tymi grupami opisano w kategoriach macierzy ortogonalnej$O(n, \mathbb{R}) = O(n)$$SO(n, \mathbb{R}) = SO(n)$

$$\mathbb{I}_1 = \pmatrix{-1 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 1}$$

ponieważ negowanie pierwszej kolumny macierzy ortogonalnej oznacza mnożenie w prawo przez . Zauważ, że i to połączenie rozłączne$\mathbb X$$\mathbb{X}$$\mathbb{I}_1$$SO(n)\subset O(n)$$O(n)$

$$O(n) = SO(n) \cup SO(n)\,\mathbb{I}_1^{-1}.$$

Biorąc pod uwagę przestrzeń prawdopodobieństwa zdefiniowaną na , proces opisany w pytaniu określa mapę$(O(n), \mathfrak{S}, \mathbb{P})$$O(n)$

$$f:O(n)\to SO(n)$$

przez ustawienie

$$f(\mathbb{X}) = \mathbb{X}$$

kiedy i$\mathbb{X}\in SO(n)$

$$f(\mathbb{X}) = \mathbb{X}\mathbb{I}_1$$

for .$\mathbb{X}\in SO(n)\,{\mathbb{I}_1}^{-1}$

Pytanie dotyczy wygenerowania losowych elementów w poprzez uzyskanie losowych elementów : to znaczy przez „popchnięcie ich do przodu” za pomocą aby uzyskać . Funkcja przekazywania do przodu tworzy przestrzeń prawdopodobieństwa z$SO(n)$$\omega\in O(n)$$f$$f_{*}\omega = f(\omega)\in SO(n)$$(SO(n), \mathfrak{S}^\prime, \mathbb{P}^\prime)$

$$\mathfrak{S}^\prime = f_{*}\mathfrak{S} = \{f(E)\,|\,E\subset\mathfrak{S}\}$$

i

$$\mathbb{P}^\prime(E) = (f_{*}\mathbb{P})(E) = \mathbb{P}(f^{-1}(E)) = \mathbb{P}(E \cup E\,\mathbb{I}_1)$$

dla wszystkich .$E \subset \mathfrak{S}^\prime$

Zakładając, że właściwe mnożenie przez zachowuje miarę, i zauważając, że w każdym przypadku , natychmiast by to oznaczało, że dla wszystkich ,$\mathbb{I}_1$$E \cap E\,\mathbb{I}_1 = \emptyset$$E\in\mathfrak{S}^\prime$

$$\mathbb{P}^\prime(E) = \mathbb{P}(E\cup E\,\mathbb{I}_1^{-1}) = \mathbb{P}(E) + \mathbb{P}(E\,\mathbb{I}_1^{-1}) = 2\mathbb{P}(E).$$

W szczególności, gdy jest niezmienny przy mnożeniu przez prawo w (co zwykle oznacza „jednolity”), oczywistym faktem jest, że i jego odwrotność (co się zdarza, że ​​jest równe sama) są oba ortogonalne, co oznacza powyższe, co pokazuje, że jest również jednolity. Dlatego nie trzeba wybierać losowej kolumny do negacji.$\mathbb{P}$$O(n)$$\mathbb{I}_1$$\mathbb{I}_1$$\mathbb{P}^\prime$