Wybór kolumny nie ma znaczenia: wynikowy rozkład na specjalnych macierzach ortogonalnych, SO(n) , jest nadal jednolity.
Wyjaśnię to, używając argumentu, który w oczywisty sposób rozciąga się na wiele powiązanych pytań dotyczących jednolitego generowania elementów grup. Każdy krok tego argumentu jest trywialny i wymaga jedynie odniesienia do odpowiednich definicji lub prostego obliczenia (takiego jak zauważenie, że macierz I1 jest ortogonalna i odwrotna do siebie).
Argumentem jest uogólnienie znanej sytuacji. Rozważmy zadanie rysunek dodatnich liczb rzeczywistych według określonego rozkładu ciągłego . Można tego dokonać, rysując dowolną liczbę rzeczywistą z ciągłego rozkładu i negując wynik, jeśli to konieczne, aby zagwarantować dodatnią wartość (prawie na pewno). Aby proces ten miał rozkład , musi mieć tę właściwośćFGFG
G(x)−G(−x)=F(x).
Najprostszym sposobem na osiągnięcie tego jest, gdy jest symetryczne wokół więc , pociągając za sobą : wszystkie prawdopodobieństwa dodatnie gęstości są po prostu podwojone, a wszystkie negatywne wyniki są eliminowane. Znajomy związek między rozkładem półnormalnym ( ) a rozkładem normalnym ( ) jest tego rodzaju.G0G(x)−1/2=1/2−G(−x)F(x)=2G(x)−1FG
Poniżej grupa odgrywa rolę niezerowych liczb rzeczywistych (uważanych za grupę multiplikatywną ), a jej podgrupa odgrywa rolę dodatnich liczb rzeczywistych . Miara Haar jest niezmienna pod negacją, więc kiedy jest „złożona” z do , rozkład wartości dodatnich nie zmienia się . (Miary tej niestety nie można znormalizować do miary prawdopodobieństwa - ale to jedyny sposób, w jaki analogia się załamuje).O(n)SO(n)R+dx/xR−{0}R+
Negowanie określonej kolumny macierzy ortogonalnej (gdy jej wyznacznik jest ujemny) jest analogią do negowania ujemnej liczby rzeczywistej w celu złożenia jej w dodatnią podgrupę. Mówiąc bardziej ogólnie, można wcześniej wybrać dowolną macierz ortogonalną o ujemnym wyznaczniku i użyć jej zamiast : wyniki byłyby takie same.JI1
Chociaż pytanie jest sformułowane w kategoriach generowania zmiennych losowych, tak naprawdę pyta o rozkłady prawdopodobieństwa w grupach macierzy i . Połączenie między tymi grupami opisano w kategoriach macierzy ortogonalnejO(n,R)=O(n)SO(n,R)=SO(n)
I1=⎛⎝⎜⎜⎜⎜−10⋮001⋮000⋮0…………0001⎞⎠⎟⎟⎟⎟
ponieważ negowanie pierwszej kolumny macierzy ortogonalnej oznacza mnożenie w prawo przez . Zauważ, że i to połączenie rozłączneXXI1SO(n)⊂O(n)O(n)
O(n)=SO(n)∪SO(n)I−11.
Biorąc pod uwagę przestrzeń prawdopodobieństwa zdefiniowaną na , proces opisany w pytaniu określa mapę(O(n),S,P)O(n)
f:O(n)→SO(n)
przez ustawienie
f(X)=X
kiedy iX∈SO(n)
f(X)=XI1
for .X∈SO(n)I1−1
Pytanie dotyczy wygenerowania losowych elementów w poprzez uzyskanie losowych elementów : to znaczy przez „popchnięcie ich do przodu” za pomocą aby uzyskać . Funkcja przekazywania do przodu tworzy przestrzeń prawdopodobieństwa zSO(n)ω∈O(n)ff∗ω=f(ω)∈SO(n)(SO(n),S′,P′)
S′=f∗S={f(E)|E⊂S}
i
P′(E)=(f∗P)(E)=P(f−1(E))=P(E∪EI1)
dla wszystkich .E⊂S′
Zakładając, że właściwe mnożenie przez zachowuje miarę, i zauważając, że w każdym przypadku , natychmiast by to oznaczało, że dla wszystkich ,I1E∩EI1=∅E∈S′
P′(E)=P(E∪EI−11)=P(E)+P(EI−11)=2P(E).
W szczególności, gdy jest niezmienny przy mnożeniu przez prawo w (co zwykle oznacza „jednolity”), oczywistym faktem jest, że i jego odwrotność (co się zdarza, że jest równe sama) są oba ortogonalne, co oznacza powyższe, co pokazuje, że jest również jednolity. Dlatego nie trzeba wybierać losowej kolumny do negacji.PO(n)I1I1P′