Jak obliczyć

Jak ocenić oczekiwania normalnego CDF do kwadratu w formie zamkniętej?

E [Φ {(a Z + b)}^{2}] = \int_{- \infty}^{\infty} Φ {(a z + b)}^{2} ϕ (z) d z

$\mathbb{E}\left[\Phi\left(aZ+b\right)^{2}\right] = \int_{-\infty}^{\infty}\Phi\left(az+b\right)^{2}\phi(z)\,dz$

Tutaj , są liczbami rzeczywistymi, , a i są odpowiednio funkcjami gęstości i rozkładu standardowej normalnej zmiennej losowej. $a$ $b$ $Z\sim\mathcal{N}(0,1)$ $\phi(\cdot)$ $\Phi(\cdot)$

mathematical-statistics

— Andrei
źródło

Gdzie utkniesz? Próbowałeś to ocenić? Być może skorzystaj z faktu, że

Var (g (X)) = E [g (X)^{2}] - (E [g (X)])^{2}

$\text{Var}(g(X))=E[g(X)^2]-(E[g(X)])^2$

— zszywany

Próbowałem ocenić całkę, używając integracji przez części i innych (prostych) technik, ale to nigdzie mnie nie doprowadziło. Poza tym zacząłem od wariantu, żeby się tu dostać. Znalazłem podobne pytanie ( stats.stackexchange.com/questions/61080/... ), ale rozszerzenie do kwadratu CDF nie wydaje się trywialne.

— Andrei

Czy rozważałeś użycie współrzędnych biegunowych?

— StatsStudent

Nie, nie wiem, czy możesz trochę opisać szczegóły?

— Andrei

Jeśli

, wtedy

jest równomiernie rozłożone w zakresie od 0 do 1. Jego drugi moment jest następnie

. Pamiętam, jak próbowałem obliczyć coś takiego, o co prosisz o ogólne

, ale nie znalazłem żadnych rozwiązań zamkniętych.

b = 0

$b=0$

a = 1

$a=1$

Φ (Z)

$\Phi(Z)$

1 / 3

$1/3$

a

$a$

b

$b$

— StijnDeVuyst

As noted in my comment above, check Wikipedia for a list of integrals of Gaussian functions. Using your notation, it gives

\int_{- \infty}^{\infty} Φ (a z + b)^{2} ϕ (z) d z = Φ (\frac{b}{\sqrt{1 + a^{2}}}) - 2 T (\frac{b}{\sqrt{1 + a^{2}}}, \frac{1}{\sqrt{1 + 2 a^{2}}}),

$\int_{-\infty}^{\infty} \Phi (az+b)^2 \phi(z) dz=\Phi \left( {{b} \over {\sqrt{1+a^2}} }\right) - 2T \left( {{b} \over {\sqrt{1+a^2}}} \ , {{1} \over {\sqrt{1+2a^2}}} \right) ,$

T (h, q)

$T(h,q)$

T (h, q) = ϕ (h) \int_{0}^{q} \frac{ϕ (h x)}{1 + x^{2}} d x

$T(h,q)=\phi(h) \int_0^q {{\phi(hx) } \over {1+x^2}} dx$

$a=1,b=0$ $1 \over 3$ as the comments indicate you should.

— soakley
źródło

Thank you so much, this is exactly what I was looking for.

— Andrei