Jak zrozumieć, że MLE wariancji jest tendencyjne w rozkładzie Gaussa?

Ilustracja PRML pokazująca, jak powstaje błąd w wykorzystaniu maksymalnego prawdopodobieństwa do określenia wariancji Gaussa

Czytam PRML i nie rozumiem tego obrazu. Czy mógłbyś podać kilka wskazówek, aby zrozumieć obraz i dlaczego MLE wariancji w rozkładzie Gaussa jest stronniczy?

wzór 1.55: wzór 1.56

μ_{M L E} = \frac{1}{N} \sum_{n = 1}^{N} x_{n}

$\mu_{MLE}=\frac{1}{N} \sum_{n=1}^N x_n$

σ_{M L E}^{2} = \frac{1}{N} \sum_{n = 1}^{N} (x_{n} - μ_{M L E})^{2}

$\sigma_{MLE}^2=\frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}(x_n-\mu_{MLE})^2$

machine-learning self-study maximum-likelihood

— ningyuwhut
źródło

Dodaj tag do samodzielnej nauki.

— StatsStudent,

dlaczego dla każdego wykresu widoczny jest tylko jeden niebieski punkt danych? btw, podczas gdy próbowałem edytować przepełnienie dwóch indeksów dolnych w tym poście, system wymaga „co najmniej 6 znaków” ... krępujących.

— Zhanxiong,

Co naprawdę chcesz zrozumieć, obraz lub dlaczego oszacowanie wariancji MLE jest stronnicze? To pierwsze jest bardzo mylące, ale mogę wyjaśnić drugie.

— TrynnaDoStat

tak, znalazłem w nowej wersji każdy wykres ma dwa niebieskie dane, mój pdf jest stary

— ningyuwhut

@TrynnaDoStat przepraszam za moje pytanie nie jest jasne. Chcę wiedzieć, dlaczego oszacowanie wariancji MLE jest stronnicze. i jak to jest wyrażone na tym wykresie

— ningyuwhut

Intuicja

$E[\bar{x}^2]$ $\mu^2$ $E[\bar{x}^2]$ $\mu^2$ $\mu$ $\bar{x}$ $\mu$ przez liczbę ujemną) również zostaje podniesiony do kwadratu i tym samym staje się dodatni. W ten sposób nie anuluje się i istnieje niewielka tendencja do przeszacowywania.

$x^2$ $\mu^2$ $E[x^2]$

Udowodnijmy, że MLE wariancji dla próbki iid jest tendencyjny. Następnie analitycznie zweryfikujemy naszą intuicję.

Dowód

$\hat{\sigma}^2 = \frac{1}{N}\sum_{n = 1}^N (x_n - \bar{x})^2$

$E[\hat{\sigma}^2] \neq \sigma^2$

E [{\hat{σ}}^{2}] = E [\frac{1}{N} \sum_{n = 1}^{N} (x_{n} - \bar{x})^{2}] = \frac{1}{N} E [\sum_{n = 1}^{N} (x_{n}^{2} - 2 x_{n} \bar{x} + {\bar{x}}^{2})] = \frac{1}{N} E [\sum_{n = 1}^{N} x_{n}^{2} - \sum_{n = 1}^{N} 2 x_{n} \bar{x} + \sum_{n = 1}^{N} {\bar{x}}^{2}]

$E[\hat{\sigma}^2] = E[\frac{1}{N}\sum_{n = 1}^N (x_n - \bar{x})^2] = \frac{1}{N}E[\sum_{n = 1}^N (x_n^2 - 2x_n\bar{x} + \bar{x}^2)] = \frac{1}{N}E[\sum_{n = 1}^N x_n^2 - \sum_{n = 1}^N 2x_n\bar{x} + \sum_{n = 1}^N \bar{x}^2]$

$\sum_{n = 1}^N x_n = N\bar{x}$ $\sum_{n = 1}^N \bar{x}^2 = N\bar{x}^2$

\frac{1}{N} E [\sum_{n = 1}^{N} x_{n}^{2} - \sum_{n = 1}^{N} 2 x_{n} \bar{x} + \sum_{n = 1}^{N} {\bar{x}}^{2}] = \frac{1}{N} E [\sum_{n = 1}^{N} x_{n}^{2} - 2 N {\bar{x}}^{2} + N {\bar{x}}^{2}] = \frac{1}{N} E [\sum_{n = 1}^{N} x_{n}^{2} - N {\bar{x}}^{2}] = \frac{1}{N} E [\sum_{n = 1}^{N} x_{n}^{2}] - E [{\bar{x}}^{2}] = \frac{1}{N} \sum_{n = 1}^{N} E [x_{n}^{2}] - E [{\bar{x}}^{2}] = E [x_{n}^{2}] - E [{\bar{x}}^{2}]

$\frac{1}{N}E[\sum_{n = 1}^N x_n^2 - \sum_{n = 1}^N 2x_n\bar{x} + \sum_{n = 1}^N \bar{x}^2] = \frac{1}{N}E[\sum_{n = 1}^N x_n^2 - 2N\bar{x}^2 + N\bar{x}^2]=\frac{1}{N}E[\sum_{n = 1}^N x_n^2 - N\bar{x}^2] = \frac{1}{N}E[\sum_{n = 1}^N x_n^2] - E[\bar{x}^2] = \frac{1}{N}\sum_{n = 1}^N E[x_n^2] - E[\bar{x}^2] \\= E[x_n^2] - E[\bar{x}^2]$

$E[x_n^2]$ $n$

$\sigma^2_x = E[x^2] - E[x]^2$

E [x_{n}^{2}] - E [{\bar{x}}^{2}] = σ_{x}^{2} + E [x_{n}]^{2} - σ_{\bar{x}}^{2} - E [x_{n}]^{2} = σ_{x}^{2} - σ_{\bar{x}}^{2} = σ_{x}^{2} - V a r (\bar{x}) = σ_{x}^{2} - V a r (\frac{1}{N} \sum_{n = 1}^{N} x_{n}) = σ_{x}^{2} - (\frac{1}{N})^{2} V a r (\sum_{n = 1}^{N} x_{n})

$E[x_n^2] - E[\bar{x}^2] = \sigma^2_x + E[x_n]^2 - \sigma^2_\bar{x} - E[x_n]^2 = \sigma^2_x - \sigma^2_\bar{x} = \sigma^2_x - Var(\bar{x}) = \sigma^2_x - Var(\frac{1}{N}\sum_{n = 1}^Nx_n) = \sigma^2_x - \bigg(\frac{1}{N}\bigg)^2Var(\sum_{n = 1}^Nx_n)$

$\frac{1}{N}$ $Var()$

σ_{x}^{2} - (\frac{1}{N})^{2} V a r (\sum_{n = 1}^{N} x_{n}) = σ_{x}^{2} - (\frac{1}{N})^{2} N σ_{x}^{2} = σ_{x}^{2} - \frac{1}{N} σ_{x}^{2} = \frac{N - 1}{N} σ_{x}^{2}

$\sigma^2_x - \bigg(\frac{1}{N}\bigg)^2Var(\sum_{n = 1}^Nx_n) = \sigma^2_x - \bigg(\frac{1}{N}\bigg)^2N \sigma^2_x = \sigma^2_x - \frac{1}{N}\sigma^2_x = \frac{N-1}{N}\sigma^2_x$

$\sigma_x^2$

Analitycznie zweryfikuj naszą intuicję

$\mu$ $\mu$ $\mu^2$ $E[\bar{x}^2]$ $\hat{\sigma}^2$

$\hat{\sigma}_\mu^2 = \frac{1}{N}\sum_{n = 1}^N (x_n - \mu)^2$

$E[x_n^2] - E[\bar{x}^2]$ $\bar{x}$ $\mu$

E [x_{n}^{2}] - E [μ^{2}] = E [x_{n}^{2}] - μ^{2} = σ_{x}^{2} + E [x_{n}]^{2} - μ^{2} = σ_{x}^{2}

$E[x_n^2] - E[\mu^2] = E[x_n^2] - \mu^2 = \sigma^2_x + E[x_n]^2 - \mu^2= \sigma^2_x$

co jest bezstronne!

— TrynnaDoStat
źródło

X

$X$

Dziękuję za wyjaśnienie. Potrzebuję trochę czasu, aby to zrozumieć. Poza tym znalazłem błąd w równaniach. Czy możesz to zweryfikować? Dzięki!

— ningyuwhut

X

$X$