Oblicz kwantyl sumy rozkładów z poszczególnych kwantyli

Załóżmy $N$ niezależne zmienne losowe $X_1, ..., X_N$ dla których kwantyle na pewnym określonym poziomie $\alpha$ są znane na podstawie danych szacunkowych: $\alpha = P(X_1 < q_1)$, ..., $\alpha = P(X_N < q_N)$. Teraz zdefiniujmy zmienną losową$Z$ jako suma $Z = \sum_{i=1}^N X_i$. Czy istnieje sposób na obliczenie wartości kwantylu sumy na poziomie$\alpha$, to jest, $q_z$ w $\alpha = P(Z < q_Z)$?

Myślę, że w szczególnych przypadkach, na przykład jeśli $X_i$ jest zgodny z rozkładem Gaussa $\forall i$ jest to łatwe, ale nie jestem tak pewien w przypadku, gdy dystrybucja $X_i$jest nieznany. Jakieś pomysły?

$q_Z$ może być cokolwiek.

---

Aby zrozumieć tę sytuację, dokonajmy wstępnego uproszczenia. Pracując z$Y_i = X_i - q_i$ uzyskujemy bardziej jednolitą charakterystykę

$$\alpha = \Pr(X_i \le q_i) = \Pr(Y_i \le 0).$$

To znaczy każdy $Y_i$ma takie samo prawdopodobieństwo bycia negatywnym. Ponieważ

$$W = \sum_i Y_i = \sum_i X_i - \sum_i q_i = Z - \sum_i q_i,$$

równanie definiujące dla $q_Z$ jest równa

$$\alpha = \Pr(Z \le q_Z) = \Pr(Z - \sum_i q_i \le q_Z - \sum_i q_i) = \Pr(W \le q_W)$$

z $q_Z = q_W + \sum_i q_i$.

---

Jakie są możliwe wartości $q_W$? Rozważ przypadek, w którym$Y_i$ wszystkie mają ten sam rozkład z całym prawdopodobieństwem na dwóch wartościach, jedna z nich ujemna ($y_{-}$), a drugi pozytywny ($y_{+}$). Możliwe wartości sumy$W$ są ograniczone do $ky_{-} + (n-k)y_{+}$ dla $k=0, 1, \ldots, n$. Każde z nich występuje z prawdopodobieństwem

$${\Pr}_W(ky_{-} + (n-k)y_{+}) = \binom{n}{k}\alpha^k(1-\alpha)^{n-k}.$$

Skrajności można znaleźć przez

1. Wybieranie $y_{-}$ i $y_{+}$ po to aby $y_{-} + (n-1)y_{+} \lt 0$; $y_{-}=-n$ i $y_{+}=1$osiągnie to. To gwarantuje, że $W$ będzie ujemna, z wyjątkiem sytuacji, gdy wszystkie $Y_i$są pozytywne. Ta szansa jest równa$1 - (1-\alpha)^n$. To przekracza$\alpha$ kiedy $n\gt 1$, sugerując $\alpha$ kwantyl $W$ musi być całkowicie negatywny.

2. Wybieranie $y_{-}$ i $y_{+}$ po to aby $(n-1) y_{-} + y_{+} \gt 0$; $y_{-}=-1$ i $y_{+}=n$osiągnie to. To gwarantuje, że$W$ będzie negatywny tylko wtedy, gdy wszystkie $Y_i$są negatywne. Ta szansa jest równa$\alpha^n$. To mniej niż$\alpha$ kiedy $n\gt 1$, sugerując $\alpha$ kwantyl $W$ musi być całkowicie pozytywny.

To pokazuje, że $\alpha$ kwantyl $W$może być ujemny lub dodatni, ale nie jest równy zero. Jaki mógłby być jego rozmiar? Musi to być jakaś integralna liniowa kombinacja$y_{-}$ i $y_{+}$. Podanie obu tych liczb całkowitych zapewnia wszystkie możliwe wartości$W$są integralne. Po skalowaniu$y_{\pm}$ przez dowolną liczbę dodatnią $s$, możemy zagwarantować, że wszystkie integralne kombinacje liniowe $y_{-}$ i $y_{+}$ są integralnymi wielokrotnościami $s$. Od$q_W \ne 0$, Musi wynosić co najmniej$s$w rozmiarze . W związku z tym możliwe wartości$q_W$ (i skąd $q_Z$) są nieograniczone, bez względu na wszystko$n\gt 1$ może być równy.

---

Tylko sposób czerpać żadnych informacji o$q_Z$ byłoby wprowadzenie konkretnych i silnych ograniczeń w dystrybucji sieci $X_i$, w celu zapobiegania i ograniczania rodzaju niezrównoważonych rozkładów zastosowanych do uzyskania tego ujemnego wyniku.