Transformacja liniowa zmiennej losowej przez wysoką prostokątną macierz

$\vec{X} \in \mathbb{R}^n$ $f_\vec{X}(\vec{x})$ $n \times n$ $A$ $\vec{Y} = A\vec{X}$ $\vec{Y}$

f_{\vec{Y}} (\vec{y}) = \frac{1}{| det A |} f_{\vec{X}} (A^{- 1} \vec{y}) .

$f_{\vec{Y}}(\vec{y}) = \frac{1}{\left|\det A\right|}f_{\vec{X}}(A^{-1}\vec{y}).$

Powiedzmy teraz, że przekształcamy zamiast macierzy macierzy , z , dając . Wyraźnie , ale „żyje” w wymiarowej podprzestrzeni . Jaka jest gęstość warunkowa , skoro wiemy, że leży ona w ? $\vec{X}$ $m \times n$ $B$ $m > n$ $\vec{Z} = B\vec{X}$ $Z \in \mathbb{R}^m$ $n$ $G \subset \mathbb{R}^m$ $\vec{Z}$ $G$

Moim pierwszym odruchem było użyć pseudo-odwrotność . Jeżeli jest pojedyncza wartość rozkładu , następnie jest pseudo-odwrotny, w którym jest utworzony poprzez odwrócenie niezerowe wpisy przekątnej macierzy . Domyślam się, że dałoby to gdzie przez mam na myśli iloczyn niezerowych wartości pojedynczych. $B$ $B = U S V^T$ $B$ $B^+ = V S^+ U^T$ $S^+$ $S$

f_{\vec{Z}} (\vec{z}) = \frac{1}{| \overset{+}{det} S |} f_{\vec{X}} (B^{+} \vec{z}),

$f_\vec{Z}(\vec{z}) = \frac{1}{\left|\det^+ S\right|} f_\vec{X}(B^+ \vec{z}),$

\overset{+}{det} S

$\det^+ S$

To rozumowanie zgadza się z gęstością pojedynczej normy (uwarunkowanej wiedzą, że zmienna żyje w odpowiedniej podprzestrzeni) podaną tutaj i wspomnianą również tutaj i w tym poście z potwierdzonym krzyżem .

Ale to nie w porządku! Stała normalizacji jest wyłączona. Podany jest (trywialny) kontrprzykład, biorąc pod uwagę następujący przypadek: W , niech Tutaj macierz z góry jest tylko wektorem jedności. Jego pseudo-odwrotność to i . Powyższe rozumowanie sugeruje, że ale tak naprawdę integruje się (na linii ) z $X \sim \mathcal{N(0, 1)}$

\vec{Y} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}) X = (\begin{matrix} X \\ X \end{matrix}) .

$\vec{Y} = \begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix} X = \begin{pmatrix}X \\ X\end{pmatrix}.$

B

$B$

B^{+} = (\begin{matrix} 1 / 2 & 1 / 2 \end{matrix})

$B^+ = \begin{pmatrix}1/2 & 1/2\end{pmatrix}$

\overset{+}{det} B = \sqrt{2}

$\det^+ B = \sqrt{2}$

f_{\vec{Y}} (\vec{y}) = \frac{1}{\sqrt{2 π} \sqrt{2}} \exp (- \frac{1}{2} {\vec{y}}^{T} (B^{+})^{T} B^{+} \vec{y}),

$f_\vec{Y}(\vec{y}) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sqrt{2}}\exp\left(-\frac{1}{2}\vec{y}^T (B^+)^T B^+ \vec{y}\right),$

y = x

$y = x$

\frac{1}{\sqrt{2}}

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ . Zdaję sobie sprawę, że w tym przypadku możesz po prostu usunąć jeden z wpisów , gotowe, ale gdy jest znacznie większy, identyfikowanie zestawu wpisów do usunięcia jest denerwujące. Dlaczego pseudo-odwrotne rozumowanie nie działa? Czy istnieje ogólny wzór na funkcję gęstości liniowej transformacji zbioru zmiennych losowych za pomocą macierzy „wysokiej”? Wszelkie odniesienia byłyby również mile widziane.

\vec{Y}

$\vec{Y}$

B

$B$

— Dan
źródło

Dla tych, którzy mogą się z tym spotkać w przyszłości ... źródło błędu faktycznie wynika z integracji. W powyższym przykładzie integracja odbywa się ponad linią . Dlatego konieczne jest „sparametryzowanie” linii i wzięcie pod uwagę jakobianu parametryzacji przy przyjmowaniu całki, ponieważ każdy krok jednostkowy w osi odpowiada krokom długości na linii. Parametryzacja, której domyślnie użyłem, została podana przez , innymi słowy, określając oba identyczne wpisy według wartości. Ma to Jacobian , co starannie anuluje się z $y = x$ $x$ $\sqrt{2}$ $x \mapsto (x, x)$ $\vec{y}$ $\sqrt{2}$ $\sqrt{2}$ (pochodzący z dokładnie tego samego jakobiańskiego) w mianowniku.

Przykład był sztucznie prosty - dla ogólnej transformacji można uzyskać inną parametryzację wyjścia, która jest naturalna w kontekście problemu. Ponieważ parametryzacja musi obejmować tę samą podprzestrzeń co , a ta podprzestrzeń jest hiperpłaszczyzną, sama parametryzacja prawdopodobnie będzie liniowa. Wywołując reprezentację macierzy parametryzacji , wymaga się po prostu, aby miała taką samą przestrzeń kolumny jak (pokrywa tę samą hiperpłaszczyznę). Następnie końcowa gęstość staje się $B$ $G$ $B$ $m \times n$ $L$ $B$

f_{\vec{Z}} (\vec{z}) = \frac{| \overset{+}{det} L |}{| \overset{+}{det} B |} f_{\vec{X}} (B^{+} \vec{z}) .

$f_{\vec{Z}}(\vec{z}) = \frac{\left|\det^+ L\right|}{\left|\det^+ B\right|}f_{\vec{X}}(B^+ \vec{z}).$

Ogólnie rzecz biorąc, ta konfiguracja jest dość dziwna i myślę, że właściwą rzeczą jest znalezienie maksymalnego liniowo niezależnego zestawu wierszy i usunięcie pozostałej części wierszy (wraz z odpowiednimi składnikami przekształconej zmiennej ), aby uzyskać macierzy kwadratowej . Następnie problem sprowadza się do przypadku pełnego rzędu (przy założeniu, że ma pełny stopień kolumny). $B$ $\vec{z}$ $\hat B$ $n \times n$ $B$

— Dan
źródło