Nadal możesz oszacować parametry, korzystając bezpośrednio z prawdopodobieństwa. Niech obserwacje będą wynosić z rozkładem wykładniczym o współczynniku i nieznanym. Funkcja gęstości to , funkcja rozkładu skumulowanego i funkcja ogona . Załóżmy, że pierwsze obserwacje są w pełni obserwowane, podczas gdy dla wiemy tylko, że dla niektórych znanych stałych dodatnichx1,…,xnλ>0f(x;λ)=λe−λxF(x;λ)=1−e−λxG(x;λ)=1−F(x;λ)=e−λxrxr+1,…,xnxj>tjtj. Jak zawsze, prawdopodobieństwem jest „prawdopodobieństwo zaobserwowanych danych” dla obserwacji cenzurowanych, podane przez , więc pełną funkcją prawdopodobieństwa jest
Funkcja loglikelihood staje się wtedy
który ma taką samą formę jak prawdopodobieństwo dla zwykłego, w pełni obserwowanego przypadku, z wyjątkiem pierwszego terminu w miejsce . Pisanie dla średniej obserwacji i czasów cenzurowania, estymator maksymalne prawdopodobieństwo stajeP(Xj>tj)=G(tj;λ)
L(λ)=∏i=1rf(xi;λ)⋅∏i=r+1nG(tj;λ)
l(λ)=rlogλ−λ(x1+⋯+xr+tr+1+⋯+tn)
rlogλnlogλTλλ^=rnT , które sam możesz porównać z w pełni zaobserwowanym przypadkiem.
EDIT
Aby spróbować odpowiedzieć na pytanie w komentarzach: Jeśli wszystkie obserwacje zostały ocenzurowane, to znaczy, nie czekaliśmy wystarczająco długo, aby zaobserwować jakieś zdarzenie (śmierć), co możemy zrobić? W takim przypadku , więc loglogelihood staje się
co oznacza, że w maleje liniowo . Zatem maksimum musi wynosić dla ! Ale zero nie jest prawidłową wartością parametru szybkości ponieważ nie odpowiada żadnemu rozkładowi wykładniczemu. Musimy stwierdzić, że w tym przypadku nie istnieje oszacowanie maksymalnego prawdopodobieństwa! Być może można by spróbować zbudować pewien przedział ufności dlar=0
l(λ)=−nTλ
λλ=0λλw oparciu o tę funkcję wiarygodności? W tym celu spójrz poniżej.
Ale w każdym razie prawdziwy wniosek z danych w tym przypadku jest taki, że powinniśmy czekać więcej czasu, aż otrzymamy jakieś zdarzenia ...
Oto, w jaki sposób możemy skonstruować (jednostronny) przedział ufności dla na wypadek, gdyby wszystkie obserwacje zostały ocenzurowane. Funkcja prawdopodobieństwa w tym przypadku to , która ma taką samą formę jak funkcja prawdopodobieństwa z eksperymentu dwumianowego, w którym osiągnęliśmy wszystkie sukcesy, czyli (patrz także Przedział ufności wokół dwumianowego oszacowania 0 lub 1 ). W takim przypadku chcemy jednostronnego przedziału ufności dla w postaci . Następnie otrzymujemy przedział dla rozwiązując .λe−λnTpnp[p¯,1]λlogp=−λT
Otrzymujemy przedział ufności dla , rozwiązując
tak, że . Daje to ostatecznie przedział ufności dla :
p
P(X=n)=pn≥0.95 (say)
nlogp≥log0.95λλ≤−log0.95nT.