Czym jest asymptotyczna macierz kowariancji?

Czy to prawda, że asymptotyczna macierz kowariancji jest równa macierzy kowariancji oszacowań parametrów? Jeśli nie, co to jest? A jaka jest w tym przypadku różnica między macierzą kowariancji a asymptotyczną macierzą kowariancji? Z góry dziękuję!

covariance asymptotics

— Leslie
źródło

Asymptotyczna macierz kowariancji jest przybliżeniem macierzy kowariancji rozkładu próbkowania oszacowań parametrów, która staje się lepsza wraz ze wzrostem liczby próbek, na których oparte są oszacowania parametrów.

— tchakravarty,

Biorąc pod uwagę próbkę z rozkładu parametrycznego o gęstości , jest nieznanym parametrem, estymator ma rozkład ze średnią i macierzą wariancji-kowariancji . Zatem jest macierzą wariancji-kowariancji w tym sensie, że $(X_1,\ldots,X_N)$ $f_\theta(\cdot)$ $\theta$ $\hat{\theta}(X_1,\ldots,X_N)$ $\mu_n(\theta)$ $\Sigma_n(\theta)$ $\Sigma_n(\theta)$ $\hat{\theta}(X_1,\ldots,X_N)$

E_{θ} [{\hat{θ} (X_{1}, \dots, X_{N}) - μ_{n} (θ)} {\hat{θ} (X_{1}, \dots, X_{N}) - μ_{n} (θ)}^{T}] = Σ_{n} (θ) .

$\mathbb{E}_\theta\left[ \left\{\hat{\theta}(X_1,\ldots,X_N)-\mu_n(\theta)\right\} \left\{\hat{\theta}(X_1,\ldots,X_N)-\mu_n(\theta)\right\}^{\text{T}} \right] = \Sigma_n(\theta)\,.$

Teraz, jeśli jest zbieżnym estymatorem, a jeśli istnieje ograniczająca dystrybucja dla , oznacza to, że istnieje sekwencja rośnie do , np. , tak że gdzie oznacza rozkład indeksowany przez i ograniczający rozkład Ten ograniczający rozkład ma wariancję która jest nazywany wariantem asymptotycznym. $\hat{\theta}(X_1,\ldots,X_N)$ $\hat{\theta}(X_1,\ldots,X_N)$ $(\phi_n)$ $+\infty$ $\phi_n=\sqrt{n}$

ϕ_{n} {\hat{θ} (X_{1}, \dots, X_{N}) - μ_{n} (θ)} \overset{dist}{⟶} G_{θ}

$\phi_n\left\{\hat{\theta}(X_1,\ldots,X_N)-\mu_n(\theta)\right\}\stackrel{\text{dist}}{\longrightarrow} G_\theta$

G_{θ}

$G_\theta$

θ

$\theta$

Ξ_{θ}

$\Xi_\theta$

— Xi'an
źródło

Dlaczego mówisz „np. ”? Czy nie zawsze powinno być ?

ϕ_{n} = \sqrt{n}

$\phi_n=\sqrt n$

\sqrt{n}

$\sqrt n$

— user56834,

Istnieją estymatory, które zbiegają się szybciej lub wolniej niż jak np . Uniform .

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

— Xi'an