Jak obliczyć funkcję prawdopodobieństwa

Żywotność 3 elementów elektronicznych wynosi a . Zmienne losowe modelowano jako losową próbkę wielkości 3 z rozkładu wykładniczego z parametrem . Funkcja prawdopodobieństwa wynosi dla $X_{1} = 3, X_{2} = 1.5,$ $X_{3} = 2.1$ $\theta$ $\theta > 0$

$f_{3}(x|\theta) = \theta^{3} exp(-6.6\theta)$ , gdzie . $x = (2, 1.5, 2.1)$

Następnie problem przechodzi do ustalenia MLE przez znalezienie wartości która maksymalizuje . Moje pytanie brzmi: jak określić funkcję wiarygodności? Przejrzałem pdf rozkładu wykładniczego, ale jest inny. Czy funkcja prawdopodobieństwa jest mi zawsze podawana w problemie? Czy też muszę to sam ustalić? Jeśli tak to jak? $\theta$ $log f_{3}(x|\theta)$

distributions maximum-likelihood exponential

— Adrian
źródło

Dlaczego chcesz dokonać oceny prawdopodobieństwa za pomocą tylko 3 obserwacji? Szacunki, które otrzymujesz za będą tendencyjne i będą miały dużą wariancję. Czy to jest HW?

θ

$\theta$

— Zachary Blumenfeld,

Czy wiesz, jaka jest definicja prawdopodobieństwa?

— Glen_b

Funkcja prawdopodobieństwa próbki, to łączna gęstość zaangażowanych zmiennych losowych, ale postrzegana jako funkcja nieznanych parametrów, biorąc pod uwagę konkretną próbę realizacji z tych zmiennych losowych.

W twoim przypadku wydaje się, że zakłada się tutaj, że okres użytkowania tych elementów elektronicznych następuje (tj. Ma rozkład krańcowy), rozkład wykładniczy z identycznym parametrem szybkości $\theta$ , a więc krańcowy plik PDF to:

{fa}_{X_{ja}} (x_{ja} ∣ θ) = θ {mi}^{- θ x_{ja}}, ja = 1, 2), 3)

$f_{X_i}(x_i\mid \theta) = \theta e^{-\theta x_i}, \;\; i=1,2,3$

Wydaje się również, że życie każdego elementu jest w pełni niezależne od życia pozostałych. W takim przypadku funkcja gęstości złącza jest iloczynem trzech gęstości,

{fa}_{X 1, X 2), X 3)} (x_{1}, x_{2)}, x_{3)} ∣ θ) = θ {mi}^{- θ x_{1}} \cdot θ {mi}^{- θ x_{2)}} \cdot θ {mi}^{- θ x_{3)}} = θ^{3)} \cdot \exp {- θ \sum_{ja = 1}^{3)} x_{ja}}

$f_{X1,X2,X3}(x_1,x_2,x_3\mid \theta) = \theta e^{-\theta x_1} \cdot \theta e^{-\theta x_2}\cdot \theta e^{-\theta x_3} = \theta^3\cdot \exp{\left\{-\theta \sum_{i=1}^3x_i\right\}}$

Aby przekształcić to w funkcję prawdopodobieństwa próbki, widzimy to jako funkcję $\theta$ biorąc pod uwagę konkretną próbkę $x_i$ „s.

L. (θ ∣ {x_{1}, x_{2)}, x_{3)}}) = θ^{3)} \cdot \exp {- θ \sum_{ja = 1}^{3)} x_{ja}}

$L(\theta \mid \{x_1,x_2,x_3\}) = \theta^3\cdot \exp{\left\{-\theta \sum_{i=1}^3x_i\right\}}$

gdzie zmieniła się tylko lewa strona, aby wskazać, co jest uważane za zmienną funkcji. W twoim przypadku dostępna próbka to trzy zaobserwowane okresy życia $\{x_1 = 3, x_2 =1.5, x_3 = 2.1\}$ , a więc $\sum_{i=1}^3x_i = 6.6$ . Zatem prawdopodobieństwo jest

L. (θ ∣ {x_{1} = 3), x_{2)} = 1.5, x_{3)} = 2.1}) = θ^{3)} \cdot \exp {- 6.6 θ}

$L(\theta \mid \{x_1 = 3, x_2 =1.5, x_3 = 2.1\}) = \theta^3\cdot \exp{\left\{-6.6\theta \right\}}$

Innymi słowy, zgodnie z podanym prawdopodobieństwem została już wstawiona konkretna dostępna próbka. Zwykle nie robi się tego, tzn. Zwykle „zatrzymujemy się” na teoretycznym przedstawieniu prawdopodobieństwa dla ogółu $x_i$ następnie określamy warunki jego maksymalizacji w odniesieniu do $\theta$ , a następnie podłączamy do warunków maksymalizacji konkretną próbkę numeryczną $x$ -wartości, w celu uzyskania konkretnego oszacowania dla $\theta$ .

Trzeba jednak przyznać, że takie prawdopodobieństwo może wyjaśnić fakt, że w przypadku wnioskowania (dla konkretnego założenia dystrybucyjnego) liczy się suma realizacji, a nie ich indywidualnych wartości: powyższe prawdopodobieństwo nie jest „próbką” -specyficzne ”, ale raczej„ specyficzne dla sumy realizacji ”: jeśli otrzymamy jakieś inne $n=3$ próbka, dla której suma jej elementów jest ponownie $6.6$ , uzyskamy ten sam szacunek dla $\theta$ (to w gruncie rzeczy to znaczy $\sum x$ jest „wystarczającą” statystyką - zawiera wszystkie informacje, które próbka może dostarczyć do wnioskowania, zgodnie ze szczególnym założeniem dystrybucyjnym).

— Alecos Papadopoulos
źródło