Oszacować masę owoców w torbie na podstawie tylko powiązanych danych?

Instruktor na moim uniwersytecie zadał takie pytanie (nie na zadanie domowe, ponieważ lekcja się skończyła, a mnie nie było). Nie mogę wymyślić, jak do tego podejść.

Pytanie dotyczy 2 torebek, z których każda zawiera asortyment różnych rodzajów owoców:

Pierwsza torba zawiera następujące losowo wybrane owoce:

+ ------------- + -------- + --------- +
| średnica cm | masa g | zgniły? |
+ ------------- + -------- + --------- +
| 17,28 | 139,08 | 0 |
| 6,57 | 91,48 | 1 |
| 7,12 | 74,23 | 1 |
| 16,52 | 129,8 | 0 |
| 14,58 | 169,22 | 0 |
| 6,99 | 123,43 | 0 |
| 6,63 | 104,93 | 1 |
| 6,75 | 103,27 | 1 |
| 15,38 | 169,01 | 1 |
| 7,45 | 83,29 | 1 |
| 13,06 | 157,57 | 0 |
| 6,61 | 117,72 | 0 |
| 7,19 | 128,63 | 0 |
+ ------------- + -------- + --------- +

Druga torebka zawiera 6 losowo wybranych owoców z tego samego sklepu, co pierwsza torebka. Suma ich średnic wynosi 64,2 cm, a 4 są zgniłe.

Podaj szacunkową masę drugiej torby.

Widzę, że wydają się istnieć dwa różne rodzaje owoców o normalnie rozmieszczonych średnicach i masach, ale jestem zagubiony, jak postępować.

Zacznijmy od wykreślenia danych i przyjrzenia się im. Jest to bardzo ograniczona ilość danych, więc będzie to nieco ad hoc z mnóstwem założeń.

rotten <- c(0,1,1,0,0,0,1,1,1,1,0,0,0)
rotten <- as.factor(rotten)
mass <- c(139.08, 
        91.48,
        74.23,
        129.8,
        169.22,
        123.43,
        104.93,
        103.27,
        169.01,
        83.29,
        157.57,
        117.72,
        128.63)
diam <- c(17.28,
        6.57,
        7.12,
        16.52,
        14.58,
        6.99,
        6.63,
        6.75,
        15.38,
        7.45,
        13.06,
        6.61,
        7.19)

plot(mass,diam,col=rotten,lwd=2)
title("Fruits")

Oto dane, czerwone kropki oznaczają zgniłe owoce:

Masz rację zakładając, że wydają się istnieć dwa rodzaje owoców. Moje założenia są następujące:

• Średnica dzieli owoce na dwie grupy
• Owoce o średnicy większej niż 10 są w jednej grupie, inne w mniejszej grupie.
• W dużej grupie owoców jest tylko jeden zgniły owoc. Załóżmy, że jeśli owoc jest w dużej grupie, to zgnilizna nie wpływa na wagę. Jest to niezbędne, ponieważ w tej grupie mamy tylko jeden punkt danych.
• Jeśli owoc jest małym owocem, zgnilizna wpływa na masę.
• Załóżmy, że zmienne diam i masa są zwykle rozłożone.

Ponieważ podano, że suma średnicy wynosi 64,2 cm, najprawdopodobniej dwa owoce są duże, a cztery są małe. Teraz są 3 przypadki na wagę. Zgniłe są 2, 3 lub 4 małe owoce (zgniłe duże owoce nie wpływają na masę z założenia ). Teraz możesz uzyskać granice swojej masy, obliczając te wartości.

Możemy empirycznie oszacować prawdopodobieństwo zgniłych małych owoców. Używamy prawdopodobieństw do ważenia naszych oszacowań masy, w zależności od liczby zgniłych owoców:

samps <- 100000
stored_vals <- matrix(0,samps,2)
for(i in 1:samps){
  numF <- 0 # Number of small rotten
  numR <- 0 # Total number of rotten
  # Pick 4 small fruits
  for(j in 1:4){
    if(runif(1) < (5/8)){ # Empirical proportion of small rotten
      numF <- numF + 1
      numR <- numR + 1
    } 
  }
  # Pick 2 large fruits
  for(j in 1:2){
    if(runif(1) < 1/5){# Empirical proportion of large rotten
      numR <- numR + 1
    }
  }
  stored_vals[i,] <- c(numF,numR)
}

# Pick out samples that had 4 rotten
fourRotten <- stored_vals[stored_vals[,2] == 4,1]
hist(fourRotten)

table(fourRotten)

# Proportions 
props <- table(fourRotten)/length(fourRotten)

massBig <- mean(mass[diam>10])
massSmRot <- mean(mass[diam<10 & rotten == 1])
massSmOk <- mean(mass[diam<10 & rotten == 0])

weights <- 2*massBig + c(2*massSmOk+2*massSmRot,1*massSmOk+3*massSmRot,4*massSmRot)

Est_Mass <- sum(props*weights) 

Dając nam ostateczną ocenę 691,5183 g . Myślę, że musisz wyciągnąć większość założeń, które wyciągnąłem, aby dojść do wniosku, ale myślę, że byłoby to możliwe w mądrzejszy sposób. Próbuję również empirycznie, aby uzyskać prawdopodobieństwo liczby zgniłych małych owoców, to jest po prostu lenistwo i można to zrobić „analitycznie”.

Proponuję następujące podejście:

1. Wygeneruj wszystkie 6 krotek, które spełniają warunki na 4 zgniłych. Są to .${6\choose 4}{7\choose 2}$
2. Wybierz spośród wygenerowanych krotek tylko te, które spełniają warunek na średnicy.
3. Oblicz średnią masę wybranych krotek (zwykle średnia arytmetyczna).

Wszystko to jest możliwe do zarządzania za pomocą prostego skryptu.

Wiele podejść obejmuje, od najprostszego do złożonego,

1. 6 (średnia masa)
2. 6 (średnia objętość) (średnia gęstość)
3. 4 (średnia zepsuta masa) + 2 (średnia zepsuta masa)
4. 4 ((średnia zepsuta objętość) + 2 (średnia zepsuta objętość)) (średnia gęstość)
5. 4 (średnia zepsuta objętość) (średnia zepsuta gęstość) + 2 (średnia zepsuta objętość) (średnia zepsuta gęstość)

. . .

metody kombinatoryczne

Podejścia są ułożone w kolejności prostoty obliczania, a nie w celu lepszego podejścia lub jakiegokolwiek dobrego. Wybór podejścia do zastosowania zależy od tego, jakie cechy populacji są znane lub zakładane. Na przykład, jeśli masy owoców w populacji sklepu są normalnie rozmieszczone i niezależne od średnic i stanu zgnilizny, można zastosować pierwsze, najprostsze podejście bez żadnych zalet (a nawet wad błędu próbkowania wielu zmiennych) stosowania bardziej złożonych podejść . Jeśli nie są niezależnymi identycznie rozmieszczonymi zmiennymi losowymi, lepszym wyborem może być bardziej złożony wybór w zależności od znanych lub zakładanych informacji o populacji.