Co to za sztuczka z dodaniem tutaj 1?

Patrzyłem na tę stronę dotyczącą implementacji Monte Carlo testu Lilleforsa. Nie rozumiem tego zdania:

W obliczeniach występuje błąd przypadkowy z symulacji. Jednak ze względu na sztuczkę polegającą na dodaniu 1 do licznika i mianownika przy obliczaniu wartości P można go stosować prosto, bez względu na przypadkowość.

Co rozumieją przez sztuczkę polegającą na dodaniu 1 do licznika i mianownika?

Odpowiedni fragment kodu znajduje się tutaj:

n <- length(x)
nsim <- 4999
d.star <- double(nsim)
for (i in 1:nsim) {
    x.star <- rnorm(n)
    d.star[i] <- fred(x.star)
}
hist(d.star)
abline(v = d.hat, lty = 2)
## simulation-derived P-value
pval <- (sum(d.star > d.hat) + 1) / (nsim + 1)

Wyjaśnienie na odnośnej stronie to

$\Pr(P \le k / n_\text{sim})$$k / n_\text{sim}$

Aby to zrozumieć, musimy przyjrzeć się kodowi, którego kluczowe linie (znacznie skrócone)

fred <- function(x) {ks.test(...)$statistic}  # Apply a statistical test to an array
d.hat <- fred(x)                              # Apply the test to the data
d.star <- apply(matrix(rnorm(n*nsim), n, nsim),
                2, fred)                      # Apply the test to nsim simulated datasets
pval <- (sum(d.star > d.hat) + 1) / (nsim + 1)# Estimate a simulation p-value

Istotnym problemem jest to, że kod nie pasuje do cytatu. Jak możemy je pogodzić? Jedna próba rozpoczyna się od ostatniej połowy oferty. Możemy interpretować procedurę jako obejmującą następujące kroki:

1. Zbierać niezależnie identycznie rozmieszczone danych według pewnego prawa prawdopodobieństwa . Zastosuj procedurę testową (zaimplementowaną w kodzie as ), aby uzyskać liczbę .$X_1, X_2, \ldots, X_n$$G$$t$fred$T_0=t(X_1, \ldots, X_n)$

2. Generowania przez komputer porównywalnych zbiorów danych, z których każdy o rozmiarze , zgodnie z hipotezą zerową z prawem prawdopodobieństwo . Zastosuj do każdego takiego zestawu danych, aby uzyskać liczb .$N=n_\text{sim}$$n$$F$$t$$N$$T_1,T_2,\ldots,T_N$

3. Oblicz

   $$P = \left(\sum_{i=1}^N I(T_i \gt T_0) + 1\right) / (N+1).$$

   („ ” to funkcja wskaźnika realizowana przez porównanie wartości w wektorze w kodzie). Prawa strona jest rozumiana jako losowa z uwagi na równoczesną losowość (rzeczywista statystyka testu) i losowość ( symulowane statystyki testowe). $I$d.star > d.hat$T_0$$T_i$

Powiedzieć, że dane są zgodne z hipotezą zerową jest twierdzić, że . Wybierz rozmiar testowy , . Pomnożenie obu stron przez i odjęcie pokazuje, że szansa, że dla dowolnej liczby jest szansą, że nie więcej niż z przekroczy . Mówi to jedynie, że znajduje się w górnym posortowanego zestawu wszystkich statystyk testowych . Ponieważ (przez budowę)$F=G$$\alpha$$0 \lt \alpha \lt 1$$N+1$$1$$P\le \alpha$$\alpha$$(N+1)\alpha - 1$$T_i$$T_0$$T_0$$(N+1)\alpha$$N+1$$T_0$jest niezależny od wszystkich , gdy jest rozkładem ciągłym, ta szansa będzie ułamkiem całości reprezentowanym przez część całkowitą ; to znaczy, i będzie dokładnie taki sam, pod warunkiem jest liczbą całkowitą ; to znaczy, gdy .$T_i$$F$$\lfloor (N+1)\alpha\rfloor$

Z pewnością jest to jedna z rzeczy, które chcemy spełnić w odniesieniu do każdej wielkości, która zasługuje na miano „wartości p”: powinna mieć jednolity rozkład na . Pod warunkiem, że jest dość duży, więc każdy jest zbliżony do pewnej części formy , to będzie zbliżone do munduru dystrybucja. (Aby dowiedzieć się o dodatkowych warunkach wymaganych dla wartości p, przeczytaj okno dialogowe, które zamieściłem na temat wartości p. )$[0,1]$$N+1$$\alpha$$k/(N+1) = k/(n_\text{sim}+1)$$P$

Oczywiście cytat powinien używać „ ” zamiast „ ”, gdziekolwiek się pojawi.$n_\text{sim}+1$$n_\text{sim}$

Uważam, że tutaj 1 dodaje się do obu, ponieważ obserwowana statystyka jest uwzględniona w rozkładzie odniesienia; w takim przypadku wynika to z „przynajmniej tak dużej” części definicji wartości p.

Nie wiem na pewno, ponieważ tekst wydaje się mówić coś innego, ale właśnie dlatego to zrobiłbym.