Wewnętrzna stacjonarna stacjonarność: czy to nie dotyczy tylko małych opóźnień?

Z definicji stacjonarności stacjonarnej:

$E[Z(x)-Z(x-h)] = 0$

To założenie stosuje się na przykład w zwykłym krigingu, zamiast zakładać stałą średnią w całej przestrzeni, zakładamy, że średnia jest lokalnie stała.

Jeśli średnia jest stała w sąsiedztwie, logicznie oczekujemy, że różnica między dwoma pomiarami blisko siebie wyniesie zero. Ale ponieważ średnia zmienia się w przestrzeni, nie oczekujemy, że różnica wartości daleko od siebie będzie wynosić zero?

Więc nie powinno być założeniem wewnętrznej stacjonarności:

dla$E[Z(x)-Z(x-h)] = 0$$h \to 0$

Tak i nie.

tak

Pamiętam, że Andre Journel dawno temu podkreślał te kwestie

• Założenia dotyczące stacjonarności to decyzje podejmowane przez analityka dotyczące tego, jakiego modelu użyć. Nie są to nieodłączne właściwości tego zjawiska.

• Takie założenia są odporne na odjazdy, ponieważ kriging (przynajmniej tak, jak praktykowano ponad 20 lat temu) prawie zawsze był lokalnym estymatorem opartym na wyborze pobliskich danych w ruchomych dzielnicach wyszukiwania.

Punkty te potwierdzają wrażenie, że stacjonarna stacjonarność jest wyłącznie własnością lokalną, sugerując, że w praktyce musi ona trzymać się tylko w typowej okolicy poszukiwawczej, a następnie tylko w przybliżeniu.

Nie

Jednak matematycznie to jest w istocie, że oczekiwane różnice musi wszystko być dokładnie zero, bez względu na odległość . W rzeczywistości, gdyby wszystko, co zakładałeś, to że oczekiwane różnice są ciągłe w opóźnieniu h , nie zakładałbyś wcale! To słabsze założenie byłoby równoznaczne z zapewnieniem braku przerw strukturalnych w oczekiwaniu (co nie oznaczałoby nawet braku przerw strukturalnych w realizacji procesu), ale w przeciwnym razie nie można byłoby go wykorzystać do budowy równań krigingowych, ani nawet oszacuj wariogram.$|h|$$h$

Aby docenić, jak słabe (i praktycznie bezużyteczne) może być założenie o średniej ciągłości, rozważ proces na linii rzeczywistej, dla którego$Z$

$$Z(x) = U\text{ if } x \lt 0;\ Z(x) = -U\text{ otherwise }$$

gdzie ma standardowy rozkład normalny. Wykres realizacji będzie składał się z pół linii na wysokości u dla ujemnego x i kolejnej pół linii na wysokości - u dla dodatniej x .$U$$u$$x$$-u$$x$

Dla każdego a h ,$x$$h$

$$E(Z(x)-Z(x-h)) = E(Z(x)) - E(Z(x-h)) = E(\pm U) - E(\pm U) = 0 - 0 = 0$$

jednak prawie na pewno , co pokazuje, że prawie wszystkie realizacje tego procesu są nieciągłe przy 0 , mimo że średnia procesu jest wszędzie ciągła.$U\ne -U$$0$

Interpretacja

Diggle i Ribeiro omawiają ten problem [na str. 66]. Mówią o wewnętrznych funkcjach losowych, dla których przyrosty są przyjmowane jako stacjonarne (nie tylko słabo stacjonarne):$Z(x)-Z(x-h)$

Wewnętrzne funkcje losowe obejmują szerszą klasę modeli niż stacjonarne funkcje losowe. W odniesieniu do predykcji przestrzennej główna różnica między prognozami uzyskanymi z modeli wewnętrznych i stacjonarnych polega na tym, że jeżeli stosowane są modele wewnętrzne, na prognozę w punkcie wpływa lokalne zachowanie danych; tj. przez obserwowany pomiar w lokalizacjach stosunkowo bliskich $x$$x$, podczas gdy na prognozy z modeli stacjonarnych wpływa również zachowanie globalne. Jednym ze sposobów, aby to zrozumieć, jest zapamiętanie, że sposób wewnętrznego procesu jest nieokreślony. W konsekwencji prognozy pochodzące z założonego modelu wewnętrznego mają tendencję do wahań wokół średniej lokalnej. Natomiast prognozy pochodzące z założonego modelu stacjonarnego mają tendencję do powrotu do globalnej średniej założonego modelu w obszarach, w których dane są rzadkie. Który z tych dwóch rodzajów zachowań jest bardziej naturalny, zależy od kontekstu naukowego, w którym modele są używane.

Komentarz

$E([Z(x)-Z(x-h)]^{2})$$0$$h\to 0$$Z^\prime$

$$E([Z(x)-Z(x-h) - h Z^\prime(x)]^{2}) = O(h^2)$$

$x$$Z^\prime$

Bibliografia

Peter J. Diggle i Paulo J. Ribeiro Jr., Geostatystyka oparta na modelach . Springer (2007)