Generowanie wartości z wielowymiarowego rozkładu Gaussa

Obecnie próbuje symulować wartościami -wymiarowej zmiennej losowej , który ma wielowymiarowego rozkładu normalnego o średniej wektor i macierzy kowariancji . $N$ $X$ $\mu = (\mu_1,...,\mu_N)^T$ $S$

Mam nadzieję, że do korzystania z procedury podobnej do metody odwrotność CDF, co oznacza, że chcę najpierw wygenerować wymiarowa zmienna losowa jednolity , a następnie podłączyć do CDF że odwrotnego tego rozkładu, tak aby wygenerować wartość . $N$ $U$ $X$

Mam problemy, ponieważ procedura nie jest dobrze udokumentowana i istnieją niewielkie różnice między funkcją mvnrnd w MATLAB a opisem, który znalazłem na Wikipedii .

W moim przypadku losowo wybieram parametry rozkładu. W szczególności generuję każdy ze środków z jednolitego rozkładu . Następnie buduję macierz kowariancji stosując następującą procedurę: $\mu_i$ $U(20,40)$ $S$

Utwórz dolną macierz trójkątną gdzie dla i dla $L$ $L(i,i) = 1$ $i=1..N$ $L(i,j) = U(-1,1)$ $i < j$
Niech $S = LL^T$ , gdzie $L^T$ oznacza transpozycję $L$ .

Ta procedura pozwala mi upewnić się, że $S$ jest symetryczny i pozytywnie określony. Zapewnia również dolną macierz trójkątną $L$ tak że $S = LL^T$ , która moim zdaniem jest wymagana do wygenerowania wartości z rozkładu.

Korzystając z wytycznych dla Wikipedii, powinienem być w stanie wygenerować wartości $X$ za pomocą $N$ wymiarowego munduru w następujący sposób:

$X = \mu + L * \Phi^{-1}(U)$

Jednak zgodnie z funkcją MATLAB jest to zwykle wykonywane jako:

$X = \mu + L^T * \Phi^{-1}(U)$

Gdzie jest odwrotnością CDF na -wymiarowej, rozdzielnego rozkładu normalnego, a jedyna różnica między obu metod jest to, czy po prostu do stosowania lub . $\Phi^{-1}$ $N$ $L$ $L^T$

Czy MATLAB lub Wikipedia są najlepszym rozwiązaniem? Czy oba są w błędzie?

— Berk U.
źródło

Jak wspomniano, oba są błędne, ponieważ jest wektorem wiersza, podczas gdy musi być wektorem kolumny. Kiedy wyprostujesz swoje wiersze i kolumny, na to pytanie należy odpowiedzieć po prostu, określając, która wersja lub daje matryca i która wersja daje tylko numer: Sprawdź, które można obliczyć oczekiwanie wersji matrycy i że daje .

μ

$\mu$

T * i n v n o r m (U)

$T * invnorm(U)$

(X - μ)^{'} (X - μ)

$(X-\mu)'(X-\mu)$

(X - μ) (X - μ)^{'}

$(X-\mu)(X-\mu)'$

S

$S$

— whuber

@whuber Yeap. Dokonano zmian w formatowaniu pytania. Dzięki za wskazówkę - zdecydowanie najłatwiejszy sposób sprawdzenia.

— Berk U.

Jeśli to wektor kolumna standardowych normalne RV, a następnie, jeśli zestaw , kowariancja jest . $X \sim \mathcal{N}(0,I)$ $Y = L X$ $Y$ $L L^T$

Myślę, że problem, który masz, może wynikać z faktu, że funkcja mvnrnd matlaba zwraca wektory wierszowe jako próbki, nawet jeśli podasz średnią jako wektor kolumny. na przykład,

 > size(mvnrnd(ones(10,1),eye(10))  
 > ans =
 >      1    10

I zauważ, że przekształcenie wektora wiersza daje odwrotną formułę. jeśli jest wektorem wiersza, to jest również wektorem wiersza, więc jest wektorem kolumny, a kowariancję można zapisać . $X$ $Z = X L^T$ $Z^T = L X^T$ $Z^T$ $E[Z^TZ] = LL^T$

W oparciu o to, co napisał chociaż formuła Wikipedia jest prawidłowa: jeśli były wektor wiersz zwracany przez Matlab, nie można lewej pomnożyć przez . (Ale mnożenie w prawo przez dałoby próbkę z tą samą kowariancją ). $\Phi^{-1}(U)$ $L^T$ $L^T$ $LL^T$

— jpillow
źródło

Zauważ, że pomoc dla mvnrnd w matlabie używa jako liczby próbek; liczba wymiarów jest . Więc jeśli poprosisz o próbek z normalnej wielowymiarowej wielowymiarowej wymiarowej, zwróci je jako macierz

N

$N$

D

$D$

N

$N$

D

$D$

N \times D

$N \times D$

— jpillow