Estymator największej wiarygodności dla minimalnych rozkładów wykładniczych

Utknąłem, jak rozwiązać ten problem.

Mamy więc dwie sekwencje zmiennych losowych, i dla . Teraz i są niezależnymi rozkładami wykładniczymi o parametrach i . Jednak zamiast obserwacji i , a nie obserwuje i . $X_i$ $Y_i$ $i=1,...,n$ $X$ $Y$ $\lambda$ $\mu$ $X$ $Y$ $Z$ $W$

$Z=\min(X_i,Y_i)$ i $W=1$ jeśli $Z_i=X_i$ i 0, jeśli $Z_i=Y_i$ . I znaleźć Zamknięty formy dla estymatorów największej wiarygodności z $\lambda$ i $\mu$ na podstawie $Z$ i $W$ . Ponadto musimy wykazać, że są to globalne maksima.

Teraz wiem, że minimum dwa niezależne wykładnicze są same w sobie wykładnicze, a współczynnik jest równy sumie wskaźników, więc wiemy, że $Z$ jest wykładnicze z parametrem $\lambda+\mu$ . Zatem naszym oszacowaniem maksymalnego prawdopodobieństwa jest: $\hat{\lambda}+\hat{\mu}=\bar{Z}$ .

Ale utknąłem z tym, dokąd pójść. Wiem, że $W$ jest rozkładem Bernoulliego z parametrem $p=P(Z_i=X_i)$ , ale nie wiem, jak przejść do przekształcenia tego w stwierdzenie dotyczące jednego z parametrów. Na przykład, co oszacowałby MLE $\bar{W}$ pod względem $\lambda$ i / lub $\mu$ ? Rozumiem, że jeśli $Z_i=X_i$ , to $\mu=0$ , ale mam trudności z wymyśleniem, jak wymyślić jakieś zdanie algebraiczne, tutaj.

UPDATE 1: Tak mi powiedziano w komentarzach do uzyskania prawdopodobieństwo na wspólną dystrybucję $Z$ i $W$ .

Więc gdzie . Poprawny? W tym przypadku nie wiem, jak inaczej uzyskać wspólną dystrybucję, ponieważ i nie są niezależne. $f(Z,W)=f(Z|W=1)\cdot p+f(Z|W=0)\cdot (1-p)$ $p=P(Z_i=X_i)$ $Z$ $W$

To daje nam, , zgodnie z definicją powyżej. Ale co teraz? Nigdzie mnie to nie prowadzi. Jeśli przejdę przez etapy obliczania prawdopodobieństwa, otrzymam: (używając i jako wielkości próbek dla każdej części mieszanki ...) $f(Z_i,W_i)=p\lambda e^{-\lambda z_i}+(1-p)\mu e^{-\mu z_i}$ $W$ $m$ $n$

$L(\lambda,\mu)=p^m\lambda^m e^{-\lambda \sum{z_i}}+(1-p)^n\mu^n e^{-\mu \sum{z_i}}$

$\log L=m\log p+m\log\lambda-\lambda \sum{z_i}+n\log(1-p)+n\log\mu-\mu \sum{z_i}$

Jeśli wezmę pochodne cząstkowe, to mówi mi, że mój MLE szacuje na i to tylko średnia „s warunkowej . To jest, $\lambda$ $\mu$ $Z$ $W$

$\hat{\lambda}=\frac{\sum{Z_i}}{m}$

$\hat{\mu}=\frac{\sum{Z_i}}{n}$

$\hat{p}=\frac{m}{n+m}$

— Ryan Simmons
źródło

Czy właśnie dzisiaj, po udzieleniu odpowiedzi na podobne pytanie MLE, mogę skierować cię do tego rozwiązania w sprawie niektórych pomysłów? Zależność między pytaniami polega na tym, że twoje dane również naturalnie dzielą się na dwie nierozłączne grupy: te, gdzie i te, gdzie . Wszystko sprowadza się do spisania prawdopodobieństwa obserwacji formy ; symetria między i , i , natychmiast generuje prawdopodobieństwo danych w formularzu a następnie jesteś wyłączony.

W = 0

$W=0$

W = 1

$W=1$

(Z, W) = (z, 0)

$(Z,W)=(z,0)$

X

$X$

Y

$Y$

μ

$\mu$

λ

$\lambda$

(z, 1)

$(z,1)$

— whuber

Nie spiesz się, aby napisać maksymalne prawdopodobieństwo! Najpierw należy wyrazić łączny rozkład , a następnie wydedukować prawdopodobieństwo związane z próbką , która okazuje się być zamkniętą formą dzięki założeniu wykładniczemu. Wtedy i tylko wtedy możesz spróbować zmaksymalizować funkcję, a tym samym uzyskać maksymalne prawdopodobieństwo.

(Z, W)

$(Z,W)$

(Z_{i}, W) =_{i})

$(Z_i,W)=_i)$

— Xi'an,

@ whuber: (+1) jest to raczej proste i wiąże się z rozdziałem między i ale obie grupy obejmują zarówno i , ponieważ przynoszą informacje o obu i , ponieważ .

(z_{i}, 1)

$(z_i,1)$

(z_{i}, 0)

$(z_i,0)$

μ

$\mu$

λ

$\lambda$

X_{i}

$X_i$

Y_{i}

$Y_i$

W_{i} = I (X_{i} < Y_{i})

$W_i=\mathbb{I}(X_i<Y_i)$

— Xi'an

@ Xi'an Zgadza się - i paralele z przykładem teorii normalnej, do którego link kontynuuję, ponieważ obie grupy dostarczają informacji o wspólnym parametrze (skali), którego oszacowanie będzie w ten sposób obejmować „łączenie” danych z grup. Tutaj zobaczysz, że mówi nam, w jaki sposób szacunek (współczynnik lub skala odwrotna dla ) należy podzielić na osobne oszacowania i .

σ

$\sigma$

\bar{W}

$\bar W$

λ + μ

$\lambda+\mu$

Z

$Z$

λ

$\lambda$

μ

$\mu$

— whuber

Przeczytałem drugi wątek, whuber, ale szczerze mówiąc, nie rozumiem, jak zastosować to w tym przykładzie. Z i W nie są niezależne, więc jak wyprowadzić wspólną dystrybucję?

— Ryan Simmons,

Nie mam wystarczającej liczby punktów do skomentowania, więc napiszę tutaj. Myślę, że problem, który publikujesz, można zobaczyć z perspektywy analizy przeżycia, jeśli weźmiesz pod uwagę następujące kwestie:

$X_i$ : Prawdziwy czas przeżycia,

$Y_i$ : Czas ,

Oba mają rozkład wykładniczy z i niezależnymi. Zatem to obserwowany czas przeżycia, a wskaźnik cenzury. $X$ $Y$ $Z_i$ $W_i$

Jeśli znasz się na analizie przeżycia, uważam, że możesz zacząć od tego momentu.

Uwagi: Dobre źródło: Analiza danych dotyczących przeżycia według DRCox i D.Oakes

Poniżej znajduje się przykład: Zakładając, że pdf rozkładu czasu przeżycia to . Zatem funkcja przeżycia to: . A prawdopodobieństwo dziennika jest następujące: $f(t)=\rho e^{-\rho t}$ $S(t)=e^{-\rho t}$

$\mathcal{l}= \sum_u \log f(z_i) + \sum_c \log S(z_i)$

z sumowaniem odpowiednio nad ludźmi nieocenzurowanymi ( ) i cenzurowanymi ( ). $u$ $c$

Z uwagi na fakt, że gdzie h (t) jest funkcją zagrożenia, można to zapisać: $f(t)=h(t)S(t)$

$\mathcal{l}= \sum_u \log h(z_i) + \sum \log S(z_i)$

$\mathcal{l}= \sum_u \log \rho - \rho \sum z_i$

A estymator największego prawdopodobieństwa z wynosi: $\hat{\rho}$ $\rho$

$\hat{\rho}=d/\sum z_i$ gdzie jest całkowitą liczbą przypadków $d$ $W_i=1$

— jujae
źródło