Czy oszacowania punktu przecięcia i nachylenia w prostej regresji liniowej są niezależne?

Rozważ model liniowy

$y_i= \alpha + \beta x_i + \epsilon_i$

oraz oszacowania nachylenia i przecięcia i przy użyciu zwykłych najmniejszych kwadratów. To odniesienie do statystyki matematycznej sprawia, że stwierdzenie, że i są niezależne (na dowód ich twierdzenia). $\hat{\alpha}$ $\hat{\beta}$ $\hat{\alpha}$ $\hat{\beta}$

Nie jestem pewien, czy rozumiem dlaczego. Od

$\hat{\alpha}=\bar{y}-\hat{\beta} \bar{x}$

Czy to nie znaczy, że i są ze sobą powiązane? Prawdopodobnie brakuje mi czegoś naprawdę oczywistego. $\hat{\alpha}$ $\hat{\beta}$

regression

— WetlabStudent
źródło

Przejdź do tej samej witryny na następującej podstronie:

https://onlinecourses.science.psu.edu/stat414/node/278

Wyraźniej zobaczysz, że określają one prosty model regresji liniowej z regresorem wyśrodkowanym na średniej próbki . I to wyjaśnia, dlaczego tak mówią $\hat \alpha$ i $\hat \beta$ są niezależne.

W przypadku, gdy współczynniki są szacowane za pomocą regresora, który nie jest wyśrodkowany, ich kowariancja wynosi

Cov (\hat{α}, \hat{β}) = - σ^{2)} (\bar{x} / {S.}_{x x}), {S.}_{x x} = \sum (x_{ja}^{2)} - {\bar{x}}^{2)})

$\text{Cov}(\hat \alpha,\hat \beta) = -\sigma^2(\bar x/S_{xx}), \;\;S_{xx} = \sum (x_i^2-\bar x^2)$

Widzicie więc, że jeśli użyjemy regresora skoncentrowanego na $\bar x$ , nazwać $\tilde x$ , powyższe wyrażenie kowariancji wykorzysta średnią próbkową wyśrodkowanego regresora, $\tilde {\bar x}$ , który będzie wynosił zero, a więc również będzie wynosił zero, a estymatory współczynników będą niezależne.

Ten post zawiera więcej informacji na temat prostej algebry OLS regresji liniowej.

— Alecos Papadopoulos
źródło

Rozważałbym użycie

C o v (\hat{α}, \hat{β} | X)

$Cov(\hat \alpha, \hat \beta | X)$ zamiast

C o v (\hat{α}, \hat{β})

$Cov(\hat \alpha, \hat \beta)$ . W przeciwnym razie czuje to

\bar{x}

$\bar x$ i

S_{x x}

$S_{xx}$ należy zastąpić odpowiednikami populacji. A może się mylę?

— Richard Hardy,