Rozumiem, że różnica między nimi jest związana z tym, czy zmienna grupująca w modelu jest szacowana jako efekt stały czy losowy, ale nie jest dla mnie jasne, dlaczego nie są takie same (jeśli nie są takie same).
Interesuje mnie szczególnie, jak to działa, gdy stosuje się oszacowanie małego obszaru, jeśli jest to istotne, ale podejrzewam, że pytanie dotyczy każdego zastosowania efektów stałych i losowych.
Odpowiedzi:
Wartości, które otrzymujesz z BLUP nie są szacowane w taki sam sposób, jak NIEBIESKIE oszacowania ustalonych efektów; zgodnie z konwencją BLUP są nazywane prognozami . Po dopasowaniu modelu efektów mieszanych początkowo szacuje się średnią i wariancję (i ewentualnie kowariancję) efektów losowych. Efekt losowy dla danej jednostki badawczej (powiedzmy ucznia) jest następnie obliczany na podstawie oszacowanej średniej i wariancji oraz danych. W prostym modelu liniowym szacuje się średnią (podobnie jak wariancję resztkową), ale obserwowane wyniki uważa się za złożone zarówno z tego, jak i z błędu, który jest zmienną losową. W modelu efektów mieszanych efekt dla danej jednostki jest również zmienną losową (chociaż w pewnym sensie została już zrealizowana).
Możesz także traktować takie jednostki jako efekty stałe, jeśli chcesz. W takim przypadku parametry dla tej jednostki są szacowane jak zwykle. W takim przypadku jednak średnia (na przykład) populacji, z której zostały pobrane jednostki, nie jest szacowana.
Co więcej, założeniem za efektami losowymi jest to, że próbki zostały pobrane losowo z pewnej populacji, i jest to populacja, na której Ci zależy. Założeniem leżącym u podstaw stałych efektów jest to, że wybrałeś te jednostki celowo, ponieważ są to jedyne jednostki, na których ci zależy.
Jeśli odwrócisz się i dopasujesz model efektów mieszanych i przewidzisz te same efekty, będą one „kurczyć się” w stosunku do średniej populacji w stosunku do ich stałych oszacowań efektów. Można to traktować jako analogię do analizy bayesowskiej, w której szacowana średnia i wariancja określają normalny wcześniejszy, a BLUP jest jak średnia z tyłu, która pochodzi z optymalnego połączenia danych z wcześniejszym.
Wielkość skurczu zależy od kilku czynników. Ważnym wyznacznikiem odległości przewidywań efektów losowych od oszacowań efektów stałych jest stosunek wariancji efektów losowych do wariancji błędu. Oto szybkie Rdemo dla najprostszego przypadku z jednostkami 5 'poziomu 2' z dopasowaniem tylko środków (przechwytuje). (Można to traktować jako wyniki testów dla uczniów w ramach klas).
library(lme4) # we'll need to use this package
set.seed(1673) # this makes the example exactly reproducible
nj = 5; ni = 5; g = as.factor(rep(c(1:nj), each=ni))
##### model 1
pop.mean = 16; sigma.g = 1; sigma.e = 5
r.eff1 = rnorm(nj, mean=0, sd=sigma.g)
error = rnorm(nj*ni, mean=0, sd=sigma.e)
y = pop.mean + rep(r.eff1, each=ni) + error
re.mod1 = lmer(y~(1|g))
fe.mod1 = lm(y~0+g)
df1 = data.frame(fe1=coef(fe.mod1), re1=coef(re.mod1)$g)
##### model 2
pop.mean = 16; sigma.g = 5; sigma.e = 5
r.eff2 = rnorm(nj, mean=0, sd=sigma.g)
error = rnorm(nj*ni, mean=0, sd=sigma.e)
y = pop.mean + rep(r.eff2, each=ni) + error
re.mod2 = lmer(y~(1|g))
fe.mod2 = lm(y~0+g)
df2 = data.frame(fe2=coef(fe.mod2), re2=coef(re.mod2)$g)
##### model 3
pop.mean = 16; sigma.g = 5; sigma.e = 1
r.eff3 = rnorm(nj, mean=0, sd=sigma.g)
error = rnorm(nj*ni, mean=0, sd=sigma.e)
y = pop.mean + rep(r.eff3, each=ni) + error
re.mod3 = lmer(y~(1|g))
fe.mod3 = lm(y~0+g)
df3 = data.frame(fe3=coef(fe.mod3), re3=coef(re.mod3)$g)Tak więc stosunek wariancji efektów losowych do wariancji błędu wynosi 1/5 dla model 1, 5/5 dla model 2i 5/1 dla model 3. Zauważ, że użyłem poziomu oznacza kodowanie modeli efektów stałych. Możemy teraz zbadać, jak szacowane efekty stałe i przewidywane efekty losowe są porównywane dla tych trzech scenariuszy.
df1
# fe1 re1
# g1 17.88528 15.9897
# g2 18.38737 15.9897
# g3 14.85108 15.9897
# g4 14.92801 15.9897
# g5 13.89675 15.9897
df2
# fe2 re2
# g1 10.979130 11.32997
# g2 13.002723 13.14321
# g3 26.118189 24.89537
# g4 12.109896 12.34319
# g5 9.561495 10.05969
df3
# fe3 re3
# g1 13.08629 13.19965
# g2 16.36932 16.31164
# g3 17.60149 17.47962
# g4 15.51098 15.49802
# g5 13.74309 13.82224Innym sposobem na uzyskanie losowych prognoz efektów, które są bliższe oszacowaniom efektów stałych, jest posiadanie większej ilości danych. Możemy porównać model 1z góry, z niskim współczynnikiem wariancji efektów losowych do wariancji błędów, do wersji ( model 1b) o tym samym współczynniku, ale o wiele więcej danych (zauważ, że ni = 500zamiast ni = 5).
##### model 1b
nj = 5; ni = 500; g = as.factor(rep(c(1:nj), each=ni))
pop.mean = 16; sigma.g = 1; sigma.e = 5
r.eff1b = rnorm(nj, mean=0, sd=sigma.g)
error = rnorm(nj*ni, mean=0, sd=sigma.e)
y = pop.mean + rep(r.eff1b, each=ni) + error
re.mod1b = lmer(y~(1|g))
fe.mod1b = lm(y~0+g)
df1b = data.frame(fe1b=coef(fe.mod1b), re1b=coef(re.mod1b)$g)Oto efekty:
df1
# fe1 re1
# g1 17.88528 15.9897
# g2 18.38737 15.9897
# g3 14.85108 15.9897
# g4 14.92801 15.9897
# g5 13.89675 15.9897
df1b
# fe1b re1b
# g1 15.29064 15.29543
# g2 14.05557 14.08403
# g3 13.97053 14.00061
# g4 16.94697 16.92004
# g5 17.44085 17.40445W dość pokrewnej notatce Doug Bates (autor pakietu R lme4) nie lubi terminu „BLUP” i zamiast tego używa „trybu warunkowego” (patrz str. 22-23 jego wersji pdf książki Lme4 ). W szczególności zwraca uwagę w sekcji 1.6, że „BLUP” może być sensownie używany tylko w liniowych modelach efektów mieszanych.