Następujący problem: chcę przewidzieć zmienną jakościową z jedną (lub więcej) zmiennymi jakościowymi za pomocą glmnet ().
Nie mogę jednak zrozumieć, jaki wynik daje mi glmnet.
Ok, najpierw wygenerujmy dwie powiązane zmienne jakościowe:
Generuj dane
p <- 2 #number variables
mu <- rep(0,p)
sigma <- matrix(rep(0,p^2), ncol=p)
sigma[1,2] <- .8 #some relationship ..
diag(sigma) <- 1
sigma <- pmax(sigma, t(sigma))
n <- 100
set.seed(1)
library(MASS)
dat <- mvrnorm(n, mu, sigma)
#discretize
k <- 3 # number of categories
d <- apply(dat, 2, function(x) {
q <- quantile(x, probs=seq(0,1, 1/k))[-c(1, k+1)]
out <- numeric(length(x))
for(i in 1:(k-1))
{ out[x<q[k-i]] <- i }
return(out)
})
d <- data.frame(apply(d, 2, as.factor))
d[,2] <- relevel(d[,2], ref="0")
d[,1] <- relevel(d[,1], ref="0")
colnames(d) <- c("X1", "X2")
Otrzymujemy:
> table(d)
X2
X1 0 1 2
0 22 11 1
1 9 14 10
2 3 8 22
Prognozowanie: multinom ()
Następnie przewidujemy X1 przez X2 za pomocą multinom () z pakietu nnet:
library(nnet)
mod1 <- multinom(X1~X2, data=d)
mod1
co daje nam:
Call:
multinom(formula = X1 ~ X2, data = d)
Coefficients:
(Intercept) X21 X22
1 -0.8938246 1.134993 3.196476
2 -1.9924124 1.673949 5.083518
Kontrola ręczna
Teraz sprawdźmy, czy możemy odtworzyć to ręcznie:
tb <- table(d)
log(tb[2,1] / tb[1,1]) #intercept category1
[1] -0.8938179
log(tb[3,1] / tb[1,1]) #intercept category2
[1] -1.99243
log((tb[1,1]*tb[2,2]) / (tb[1,2]*tb[2,1])) #logodds-ratio cat X1 0vs1 in X2 0vs1
[1] 1.13498
#same for the three remaining log odds ratios
Produkujemy te same liczby, dobrze!
Prognozowanie: glmnet ()
Teraz zróbmy to samo z glmnet:
library(glmnet)
y <- d[,1]
X <- model.matrix(X1~X2, data=d)[,-1]
mod2 <- glmnet(X, y, family="multinomial", lambda=c(0))
coef(mod2, s=0) #meaning of coefficients unclear!
$`0`
3 x 1 sparse Matrix of class "dgCMatrix"
1
(Intercept) 0.9620216
X21 -1.1349130
X22 -3.1958293
$`1`
3 x 1 sparse Matrix of class "dgCMatrix"
1
(Intercept) 0.06825755
X21 .
X22 .
$`2`
3 x 1 sparse Matrix of class "dgCMatrix"
1
(Intercept) -1.0302792
X21 0.5388814
X22 1.8870363
Zauważ, że ustawiłem s = 0, więc nie ma regularyzacji, a parametry powinny zawierać dokładnie te same informacje, co parametry funkcji multinom ().
Mimo to otrzymujemy bardzo różne parametry. Wynika to z różnej parametryzacji używanej w glmnet, patrz np .:
http://web.stanford.edu/~hastie/glmnet/glmnet_alpha.html (nagłówek: modele wielomianowe) lub odpowiedni artykuł: http://www.jstatsoft.org/v33/i01/paper (nagłówek: 4. Regularizowane regresja wielomianowa)
Ale bez względu na to, jak dokładnie jedna się sparametryzuje, należy uzyskać to samo , prawdopodobieństwo kategorii k zależy od X.
Prawdopodobieństwa warunkowe: multinom ()
Najpierw obliczam te prawdopodobieństwa na podstawie multinom ():
p.fit <- predict(mod1, type="probs")
head(d)
head(p.fit)
ccp <- matrix(0,3,3)
ccp[,3] <- p.fit[1,]
ccp[,2] <- p.fit[2,]
ccp[,1] <- p.fit[4,]
ccp
[,1] [,2] [,3]
[1,] 0.64705896 0.3333332 0.03030114
[2,] 0.26470416 0.4242450 0.30303140
[3,] 0.08823688 0.2424218 0.66666746
colSums(ccp) #sum to 1, ok; sorry for the awful code ...
[1] 1 1 1
Ponieważ mamy tutaj model nasycony, powinien on być taki sam, jak to, co możemy obliczyć z danych:
emp <- table(d)/100
cemp <- apply(emp, 2, function(x) {
x / sum(x)
})
cemp
X2
0 1 2
0 0.64705882 0.3333333 0.03030303
1 0.26470588 0.4242424 0.30303030
2 0.08823529 0.2424242 0.66666667
co faktycznie jest prawdą.
Prawdopodobieństwa warunkowe: glmnet ()
Teraz to samo z glmnet:
c1 <- coef(mod2, s=0)
c <-matrix(rapply(c1, function(x) { as.matrix(x)}, how="unlist"), 3,3, byrow=T)
ccp2 <- matrix(0,3,3)
config <- rbind(c(0,0), c(1,0), c(0,1))
for(l in 1:3) #loop through categories
{
denom <- numeric(3)
for(i in 1:3) # loop through possible predictor combinations
{
x1 <- config[i, 1]
x2 <- config[i, 2]
denom[i] <- exp(c[l,1] + x1 * c[l,2] + x2 * c[l,3])
}
ccp2[l,1] <- denom[1] / sum(denom)
ccp2[l,2] <- denom[2] / sum(denom)
ccp2[l,3] <- denom[3] / sum(denom)
}
ccp2
[,1] [,2] [,3]
[1,] 0.7340082 0.2359470 0.03004484
[2,] 0.3333333 0.3333333 0.33333333
[3,] 0.1073668 0.1840361 0.70859708
colSums(ccp2)
[1] 1.1747083 0.7533165 1.0719753
Prawdopodobieństwa warunkowe komórki są nieco powiązane, ale różne. Nie sumują się też do jednego.
Mamy więc dwa problemy:
a) prawdopodobieństwa warunkowe nie sumują się do 1 i
b) parametry nie opisują tego, co widzimy w danych: np. w wierszu 2 występują różnice między kolumnami, ale glmnet szacuje oba współczynniki (nie przecięcie) na zero.
Użyłem problemu z regresją liniową i porównałem glm i glmnet ze s = 0, aby upewnić się, że s = 0 oznacza zerową regularyzację (rozwiązania były prawie identyczne).
Każda pomoc i pomysły będą mile widziane!