Próbowałem symulować wstrzykiwanie losowych punktów w kółko, tak aby dowolna część koła miała takie samo prawdopodobieństwo wystąpienia wady. Spodziewałem się, że liczenie na pole wynikowego rozkładu będzie zgodne z rozkładem Poissona, jeśli podzielę okrąg na prostokąty o równej powierzchni.

Ponieważ wymaga to jedynie umieszczenia punktów w obszarze kołowym, wstrzyknąłem dwa równomierne rozkłady losowe we współrzędnych biegunowych: $R$ (promień) i (kąt biegunowy).$\theta$

Ale po wykonaniu tego zastrzyku wyraźnie dostaję więcej punktów na środku koła w porównaniu do krawędzi.

Jaki byłby prawidłowy sposób wykonania tego wstrzyknięcia przez okrąg, tak aby punkty były losowo rozmieszczone w kręgu?

Chcesz, aby proporcja punktów była jednakowo proporcjonalna do powierzchni, a nie do odległości od początku. Ponieważ powierzchnia jest proporcjonalna do kwadratu odległości, wygeneruj jednolite losowe promienie i weź ich pierwiastki kwadratowe. Połącz to z jednolitym kątem biegunowym.

Jest to szybkie i proste do kodowania, wydajne w wykonaniu (szczególnie na platformie równoległej) i generuje dokładnie określoną liczbę punktów.

Przykład

To działa Rkod ilustrujący algorytm.

n <- 1e4
rho <- sqrt(runif(n))
theta <- runif(n, 0, 2*pi)
x <- rho * cos(theta)
y <- rho * sin(theta)
plot(x, y, pch=19, cex=0.6, col="#00000020")

Można zastosować próbkowanie odrzucenia . Oznacza to, że możemy próbkować z jednorodnego rozkładu 2D i wybierać próbki spełniające warunki dysku.

Oto przykład.

x=runif(1e4,-1,1)
y=runif(1e4,-1,1)

d=data.frame(x=x,y=y)
disc_sample=d[d$x^2+d$y^2<1,]
plot(disc_sample)

Dam ci ogólną n-wymiarową odpowiedź, która oczywiście działa również w przypadku dwuwymiarowej. W trzech wymiarach analog dysku jest objętością litej kuli (kuli).

Omówię dwa podejścia. Jeden z nich nazwałbym „precyzyjnym” , a dostaniesz z nim kompletne rozwiązanie w R. Drugi, który nazywam heurystyczny , i to tylko pomysł, nie ma pełnego rozwiązania.

„Precyzyjne” rozwiązanie

Moje rozwiązanie oparte jest na pracach Marsaglii i Mullera . Zasadniczo dzieje się tak, że wektor Gaussa znormalizowany do swojej normy dałby równomiernie rozmieszczone punkty na hipersferze d-wymiarowej:

$d$$1/d$

n <- 1e4
rho <- sqrt(runif(n))
# d - # of dimensions of hyperdisk
d = 2
r = matrix(rnorm(n*d),nrow=n,ncol=d)
x = r/rep(sqrt(rowSums(r^2))/rho,1)
plot(x[,1], x[,2], pch=19, cex=0.6, col="#00000020")

Oto fragment kodu dla przypadku 3D, czyli litej kuli:

library(scatterplot3d)
n <- 1e3
# d - # of dimensions of hyperdisk

d=3
rho <- (runif(n))^(1/d)
r = matrix(rnorm(n*d),nrow=n,ncol=d)
x = r/rep(sqrt(rowSums(r^2))/rho,1)

scatterplot3d(x[,1], x[,2], x[,3])

Podejście heurystyczne

Dlaczego ma to znaczenie dla naszego problemu? Załóżmy, że chcesz wygenerować d losowe liczby jednolite, byłyby to losowe punkty wewnątrz hipersześcianu d-wymiarowego. Następnie stosuje się próbkowanie odrzucenia, aby wybrać punkty wewnątrz hipersfery (aka n-ball): $\sum_{i=1}^d x_i^2<R^2$

$\frac 1 {\sqrt{d+2}}$

Oto alternatywne rozwiązanie w R:

n <- 1e4
## r <- seq(0, 1, by=1/1000)
r <- runif(n)
rho <- sample(r, size=n, replace=T, prob=r)
theta <- runif(n, 0, 2*pi)
x <- rho * cos(theta)
y <- rho * sin(theta)
plot(x, y, pch=19, cex=0.6, col="#00000020")