Jaka jest różnica między

Ogólnie, jaka jest różnica między $E(X|Y)$ i $E(X|Y=y)$ ?

Poprzednia jest funkcją $y$ a ostatnia jest funkcją $x$ ? To takie mylące ...

Z grubsza mówiąc, różnica między $E(X \mid Y)$ i $E(X \mid Y = y)$ polega na tym, że ta pierwsza jest zmienną losową, podczas gdy druga (w pewnym sensie) jest realizacją $E(X \mid Y)$ . Na przykład, jeśli

$$(X, Y) \sim \mathcal N\left(\mathbf 0, \begin{pmatrix} 1 & \rho \\ \rho & 1 \end{pmatrix}\right)$$ to $E(X \mid Y)$ jest zmienną losową $$E(X \mid Y) = \rho Y.$$ I odwrotnie, pozaobserwowaniu$Y = y$ , bardziej prawdopodobne byłoby zainteresowanie wielkością$E(X \mid Y = y) = \rho y$ która jest skalarem.

Być może wydaje się to niepotrzebną komplikacją, ale uznanie $E(X \mid Y)$ za zmienną losową samą w sobie jest tym, co sprawia, że ​​takie prawo jak wieża $E(X) = E[E(X \mid Y)]$ ma sens - coś wewnątrz nawiasów klamrowych jest losowe, więc możemy zapytać, jakie jest jego oczekiwanie, podczas gdy E nie ma nic losowego ( X ∣ Y = y $E(X \mid Y = y)$ . W większości przypadków możemy mieć nadzieję na obliczenie

$$E(X \mid Y = y) = \int x f_{X\mid Y}(x \mid y) \ dx$$

a następnie uzyskaj $E(X \mid Y)$ poprzez „wpięcie” losowej zmiennej $Y$ zamiast $y$ w wynikowym wyrażeniu. Jak wskazano we wcześniejszym komentarzu, istnieje pewna subtelność, która może wkradać się w odniesieniu do rygorystycznego definiowania tych rzeczy i łączenia ich w odpowiedni sposób. Zdarza się to z prawdopodobieństwem warunkowym, z powodu pewnych problemów technicznych związanych z podstawową teorią.

Załóżmy, że $X$ i $Y$ są zmiennymi losowymi.

Niech $y_0$ będzie stałą liczbą rzeczywistą, powiedzmy $y_0 = 1$ . Następnie $E[X\mid Y=y_0]= E[X\mid Y = 1]$ to ilość : jest uwarunkowane wartością oczekiwaną z $X$ ponieważ $Y$ ma wartość $1$ . Teraz zwróć uwagę na inną stałą liczbę rzeczywistą $y_1$ , powiedzmy $y_1=1.5$ , $E[X\mid Y = y_1] = E[X\mid Y = 1.5]$ będzie warunkową wartością oczekiwaną $X$ biorąc pod uwagę$Y = 1.5$ (liczba rzeczywista). Nie ma powodu przypuszczać, że$E[X\mid Y = 1.5]$ i$E[X\mid Y = 1]$ mają tę samą wartość. Zatem możemy również uwzględnić$E[X\mid Y=y]$ za a funkcja o wartościach rzeczywistych $g(y)$ która odwzorowuje liczby rzeczywiste $y$ na liczby rzeczywiste $E[X\mid Y = y]$ . Zauważ, że stwierdzenie w pytaniu PO, że $E[X\mid Y = y]$ jest funkcją $x$ jest niepoprawne: $E[X\mid Y = y]$ jest funkcją $y$ o wartości rzeczywistej .

Z drugiej strony, $E[X\mid Y]$ jest zmienną losową $Z$ który okazuje się być funkcją zmiennej losowej $Y$ . Teraz, ilekroć piszemy $Z = h(Y)$ , rozumiemy przez to, że ilekroć zmienna losowa $Y$ ma wartość $y$ , zmienna losowa $Z$ ma wartość $h(y)$ . Ilekroć $Y$ przyjmuje wartość $y$ , zmienna losowa $Z = E[X\mid Y]$ takes on value $E[X\mid Y = y] = g(y)$. Thus, $E[X\mid Y]$ is just another name for the random variable $Z = g(Y)$. Note that $E[X\mid Y]$ is a function of $Y$ (not $y$ as in the statement of the OP's question).

As a a simple illustrative example, suppose that $X$ and $Y$ are discrete random variables with joint distribution

$$\begin{align} P(X=0,Y=0) &= 0.1,~~ P(X=0, Y=1) = 0.2,\\ P(X=1,Y=0) &= 0.3,~~ P(X=1,Y=1) = 0.4. \end{align}$$ Note that $X$ and $Y$ are (dependent) Bernoulli random variables with parameters $0.7$ and $0.6$ respectively, and so $E[X] = 0.7$ and $E[Y] = 0.6$. Now, note that conditioned on $Y=0$, $X$ is a Bernoulli random variable with parameter $0.75$ while conditioned on $Y = 1$, $X$ is a Bernoulli random variable with parameter $\frac 23$. If you cannot see why this is so immediately, just work out the details: for example $$P(X=1\mid Y = 0) = \frac{P(X=1, Y=0)}{P(Y=0)} = \frac{0.3}{0.4} = \frac 34,\\ P(X=0\mid Y = 0) = \frac{P(X=0, Y=0)}{P(Y=0)} = \frac{0.1}{0.4} = \frac 14,$$ and similarly for $P(X=1\mid Y=1)$ and $P(X=0\mid Y = 1)$. Hence, we have that $$E[X\mid Y = 0] = \frac 34, \quad E[X \mid Y = 1] = \frac 23.$$ Thus, $E[X\mid Y = y] = g(y)$ where $g(y)$ is a real-valued function enjoying the properties: $$g(0) = \frac 34, \quad g(1) = \frac 23.$$

On the other hand, $E[X\mid Y] = g(Y)$ is a random variable that takes on values $\frac 34$ and $\frac 23$ with probabilities $0.4 = P(Y=0)$ and $0.6 = P(Y=1)$ respectively. Note that $E[X\mid Y]$ is a discrete random variable but is not a Bernoulli random variable.

As a final touch, note that

$$E[Z] = E\left[E[X\mid Y]\right] = E[g(Y)] = 0.4\times \frac 34 + 0.6\times \frac 23 = 0.7 = E[X].$$ That is, the expected value of this function of $Y$, which we computed using only the marginal distribution of $Y$, happens to have the same numerical value as $E[X]$ !! This is an illustration of a more general result that many people believe is a LIE: $$E\left[E[X\mid Y]\right] = E[X].$$

Sorry, that's just a small joke. LIE is an acronym for Law of Iterated Expectation which is a perfectly valid result that everyone believes is the truth.

$E(X|Y)$ is the expectation of a random variable: the expectation of $X$ conditional on $Y$. $E(X|Y=y)$, on the other hand, is a particular value: the expected value of $X$ when $Y=y$.

Think of it this way: let $X$ represent the caloric intake and $Y$ represent height. $E(X|Y)$ is then the caloric intake, conditional on height - and in this case, $E(X|Y=y)$ represents our best guess at the caloric intake ($X$) when a person has a certain height $Y = y$, say, 180 centimeters.

$E(X|Y)$ is expected value of values of $X$ given values of $Y$ $E(X|Y=y)$ is expected value of $X$ given the value of $Y$ is $y$

Generally $P(X|Y)$ is probability of values $X$ given values $Y$, but you can get more precise and say $P(X=x|Y=y)$, i.e. probability of value $x$ from all $X$'s given the $y$'th value of $Y$'s. The difference is that in the first case it is about "values of" and in the second you consider a certain value.

You could find the diagram below helpful.