Jak interpretować współczynnik zmienności?

Próbuję zrozumieć współczynnik zmienności . Kiedy próbuję zastosować go do następujących dwóch próbek danych, nie jestem w stanie zrozumieć, jak interpretować wyniki.

Powiedzmy, że próbka 1 to a próbka 2 to {10, 15, 17, 22, 21, 27} . Tutaj próbka 2 = próbka 1 + \ 10, jak widać.${0, 5, 7, 12, 11, 17}$${10 ,15 ,17 ,22 ,21 ,27}$$=$$+\ 10$

Oba mają takie samo odchylenie standardowe $\sigma_{2} = \sigma_{1}= 5.95539$ ale $\mu_{2}=18.67$ i $\mu_{1}=8.66667$ .

Teraz współczynnik zmienności ${\sigma}/{\mu}$ będzie inny. Dla próbki 2 będzie mniej niż dla próbki 1. Ale jak interpretować ten wynik? Pod względem wariancji oba są takie same; tylko ich środki są różne. Jaki jest więc tutaj współczynnik zmienności? To mnie po prostu wprowadza w błąd, a może nie jestem w stanie zinterpretować wyników.

W przykładach takich jak twoje, gdy dane różnią się tylko addytywnie, tj. Dodajemy do wszystkiego pewną stałą , a następnie, jak zauważysz, standardowe odchylenie pozostaje niezmienione, średnia zmienia się dokładnie o tę stałą, a więc współczynnik zmienności zmienia się z do , co nie jest ani interesujące, ani użyteczne.σ / μ σ / ( μ + k $k$$\sigma / \mu$$\sigma / (\mu + k)$

Interesująca jest multiplikatywna zmiana, w której pewien współczynnik zmienności ma pewne zastosowanie. Pomnożenie wszystkiego przez jakąś stałą oznacza, że ​​współczynnik zmienności staje się , tj. Pozostaje taki sam jak poprzednio. Przykładem jest zmiana jednostek miary, jak w odpowiedziach @Aksalal i @Macond.k σ / k $k$$k \sigma/k \mu$

Ponieważ współczynnik zmienności jest wolny od jednostek, więc również nie ma wymiarów, ponieważ wszelkie jednostki lub wymiary posiadane przez zmienną podstawową są wymywane przez podział. To sprawia, że ​​współczynnik zmienności jest miarą względnej zmienności , więc względną zmienność długości można porównać z wagą i tak dalej. Jednym z obszarów, w którym współczynnik zmienności znalazł pewne zastosowanie opisowe, jest morfometria wielkości organizmu w biologii.

W zasadzie i praktyce współczynnik zmienności jest definiowany tylko w pełni i w ogóle użyteczny dla zmiennych, które są całkowicie dodatnie. Dlatego też twoja pierwsza próbka o wartości nie jest odpowiednim przykładem. Innym sposobem dostrzeżenia tego jest odnotowanie, że gdyby średnia była zawsze zerowa, współczynnik byłby nieokreślony i gdyby średnia była zawsze ujemna, współczynnik byłby ujemny, zakładając w tym ostatnim przypadku, że odchylenie standardowe jest dodatnie. W obu przypadkach środek byłby bezużyteczny jako miara względnej zmienności, a nawet w jakimkolwiek innym celu. $0$

Równoważnym stwierdzeniem jest to, że współczynnik zmienności jest interesujący i użyteczny tylko wtedy, gdy logarytmy są zdefiniowane w zwykły sposób dla wszystkich wartości, a faktycznie użycie współczynników zmienności jest równoważne spojrzeniu na zmienność logarytmów.

Chociaż dla czytelników powinno to wydawać się niewiarygodne, widziałem publikacje klimatologiczne i geograficzne, w których współczynniki zmienności temperatur Celsjusza zaskoczyły naiwnych naukowców, którzy zauważają, że współczynniki mogą eksplodować, gdy średnie temperatury zbliżają się do C i stają się ujemne dla średnie temperatury poniżej zera. Co dziwniejsze, widziałem sugestie, że problem został rozwiązany za pomocą Fahrenheita. I odwrotnie, współczynnik zmienności jest często wymieniany poprawnie jako miara podsumowująca określona wtedy i tylko wtedy, gdy skale pomiarowe kwalifikują się jako skala współczynników. Tak się składa, że ​​współczynnik zmienności nie jest szczególnie użyteczny nawet w temperaturach mierzonych w stopniach Kelvina, ale z przyczyn fizycznych, a nie matematycznych lub statystycznych.$0^\circ$

Podobnie jak w przypadku dziwnych przykładów z klimatologii, które pozostawiam bez odniesienia, ponieważ autorzy nie zasługują ani na uznanie, ani na wstyd, współczynnik zmienności został w niektórych dziedzinach nadmiernie wykorzystany. Czasami istnieje tendencja do postrzegania go jako pewnego rodzaju magicznego podsumowania, które zawiera zarówno średnią, jak i odchylenie standardowe. Jest to naturalnie prymitywne myślenie, ponieważ nawet gdy stosunek ma sens, nie można z niego odzyskać średniej i odchylenia standardowego.

W statystyce współczynnik zmienności jest dość naturalnym parametrem, jeśli zmiana wynika albo z gamma, albo z logarytmu normalnego, co można zobaczyć, patrząc na formę współczynnika zmienności dla tych rozkładów.

Chociaż współczynnik zmienności może być przydatny, w przypadkach, w których ma zastosowanie, bardziej użytecznym krokiem jest praca w skali logarytmicznej, albo przez transformację logarytmiczną, albo za pomocą funkcji połączenia logarytmicznego w uogólnionym modelu liniowym.

EDYCJA: Jeśli wszystkie wartości są ujemne, możemy uznać znak za zwykłą konwencję, którą można zignorować. Odpowiednio w takim przypadkujest faktycznie identycznym bliźniakiem współczynnika zmienności.$\sigma / |\mu|$

Wyobraź sobie, że powiedziałem: „W tym mieście jest 1 625 330 osób. Plus minus pięć”. Byłbyś pod wrażeniem mojej dokładnej wiedzy demograficznej.

Ale gdybym powiedział: „W tym domu jest pięć osób. Plus minus pięć”. Można by pomyśleć, że nie mam pojęcia, ile osób było w domu.

To samo odchylenie standardowe, bardzo różne CV.

Zwykle używa się współczynnika zmienności dla zmiennej o różnych jednostkach miary lub bardzo różnych skalach. Można to traktować jako stosunek szumu do sygnału. Na przykład możesz porównać zmienność masy i wzrostu uczniów; zmienność PKB USA i Monako.

W twoim przypadku współczynnik zmienności może w ogóle nie mieć większego sensu, ponieważ wartości nie są bardzo różne.

$s / \bar{x}$

W rzeczywistości obie statystyki mogą wprowadzać w błąd, jeśli nie znasz lub nie rozumiesz swojej hipotezy i eksperymentu. Rozważ ten makabryczny przykład ... Chodzenie po dwóch wysokich budynkach po linie, a nie chodzenie po desce. Powiedzmy, że linka ma średnicę 1 cala, podczas gdy deska ma 12 cali szerokości. 5 osób poproszono o przejście po linie, a 5 poproszono o przejście po desce. Znaleziono następujące wyniki:

Średnia odległość każdego kroku od krawędzi (lub boku) liny (cale): 0,5, 0,2, 0,3, 0,6, 0,1

Średnia odległość każdego stopnia od krawędzi (lub boku) deski (cale): 5,5, 5,2, 5,3, 5,6, 5,1

Podobnie jak w twoim przykładzie, ten przykład spowoduje równe odchylenia standardowe, ponieważ wartości deski są po prostu różnicą +5 do wartości dla linoskoczka. Gdybym jednak powiedział, że odchylenie standardowe dla każdego eksperymentu wynosi 0,2074, można powiedzieć, że dwa eksperymenty były równoważne. Jeśli jednak powiem ci, że CV dla eksperymentu z liną nośną wynosi prawie 61% w porównaniu do poniżej 4% dla deski, możesz zapytać mnie, ile osób spadło z liny.

CV jest zmiennością względną, która służy do porównywania zmienności różnych próbek danych. Na przykład ty, to samo odchylenie standardowe / wariancja z mniejszą średnią wygeneruje mniejsze CV. wskazuje, że mniejszy zestaw danych CV ma mniejszą zmienność względną. Załóżmy, że zarabiasz 10000 miesięcznie, a ja zarabiam 100. (inna średnia) wszyscy prawdopodobnie tracimy 100 miesięcznie (vriation), będę zraniony o wiele bardziej niż ty, ponieważ dostaję większe CV (cv = 1 w porównaniu do twojego 0,01), względnie większa zmienność.

w tym przypadku cv nie jest właściwym narzędziem statystycznym do wyjaśnienia wyniku.

w zależności od charakteru prowadzonych badań, stąd cel, badacz ma konkretną hipotezę lub wskazuje na dowód. Musi zaprojektować, przeprowadzić eksperyment i przeanalizować dane przy użyciu najlepszego i odpowiedniego narzędzia statystycznego, tj. Jeśli eksperyment ma na celu porównanie wzrostu grupy 1 i grupy 2, chociaż cv obu jest taki sam, ale przy użyciu testu T lub sparowanego T- test lub Anova (większy eksperyment) może łatwo udowodnić różnicę między dwiema grupami.

Kluczem tutaj jest zastosowanie odpowiedniego narzędzia statystycznego, aby uzyskać sensowne wyjaśnienie wyniku. Pamiętaj, że cv to tylko jedna z opcji statystyki opisowej.

moje 2 centy