Ponieważ
wiemy, że
, a więc wiadomo, że dla każdego składnika o ,
gdzie to element przekątnej w . Wiemy zatem, że
β -β~N(0,σ2(X, TX)-1)k β β k-βk~N(0,σ2SKk)Skkkth(XTX
β^= ( XT.X)- 1XT.Y= ( XT.X)- 1XT.( Xβ+ ε )= β+ ( XT.X)- 1XT.ε
β^- β∼ N.( 0 , σ2)( XT.X)- 1)
kβ^β^k- βk∼ N.( 0 , σ2)S.k k)
S.k kkth z k =( XT.X)- 1zk= β^k- βkσ2)S.k k-----√∼ N.( 0 , 1 ) .
Zwróć uwagę na twierdzenie Twierdzenia o rozkładzie idempotentnej postaci kwadratowej w standardowym wektorze normalnym (Twierdzenie B.8 w Greene):
Jeśli i jest symetryczny i idempotent, a rozdziela , gdzie jest rangę .A x T A x χ 2 ν ν Ax ∼ N( 0 , I)ZAxT.A xχ2)ννZA
Niech oznacza resztkowy wektor regresji i niech
który jest macierzą rezydującego twórcy (tj. ) . Łatwo jest sprawdzić, czy jest symetryczny i idempotentny . M=min-X(X, TX)-1Xt,Mr= ε Mε^
M.= Jan- X( XT.X)- 1XT.,
M.y= ε^M.
Niech
będzie estymatorem . σ2
s2)= ε^T.ε^n - p
σ2)
Następnie musimy wykonać algebrę liniową. Zwróć uwagę na te trzy właściwości algebry liniowej:
- Ranga idempotentnej matrycy jest jej śladem.
- Tr( A1+ A2)) = Tr( A1) + Tr( A2))
- A 1 n 1 × n 2 A 2 n 2 × n 1Tr( A1ZA2)) =Tr( A2)ZA1) jeśli to a to ( ta właściwość ma kluczowe znaczenie dla działania poniższych )ZA1n1× n2)ZA2)n2)× n1
Więc
rank(M)=Tr(M)=Tr(In−X(XTX)−1XT)=Tr(In)−Tr(X(XTX)−1XT))=Tr(In)−Tr((XTX)−1XTX))=Tr(In)−Tr(Ip)=n−p
Następnie
V=(n−p)s2σ2=ε^Tε^σ2=(εσ)TM(εσ).
Stosując twierdzenie o rozkładzie idempotentnej postaci kwadratowej w standardowym wektorze normalnym (podanym powyżej), wiemy, że .V∼χ2n−p
Ponieważ założyłeś, że jest zwykle dystrybuowany, to jest niezależny od , a ponieważ jest funkcją , to jest również niezależne od . Zatem iεβ^ε^s2ε^s2β^zkV są od siebie niezależne.
tk=zkV/(n−p)−−−−−−−−√
n−pttktn−p
Następnie można go manipulować algebraicznie w bardziej znaną formę.
tk=β^k−βkσ2Skk√(n−p)s2σ2/(n−p)−−−−−−−−−−−−√=β^k−βkSkk√s2−−√=β^k−βks2Skk−−−−−√=β^k−βkse(β^k)