Przykład niespójnego estymatora maksymalnego prawdopodobieństwa

Czytam komentarz do artykułu, a autor stwierdza, że ​​czasami, mimo że estymatory (znalezione przez ML lub maksymalne quasilikelihood) mogą nie być spójne, moc testu ilorazu wiarygodności lub quasi-ilorazu wiarygodności może nadal być zbieżna z 1, ponieważ liczba obserwowanych danych dąży do nieskończoności (spójność testu). Jak i kiedy to się dzieje? Czy znasz jakieś bibliografie?

[Myślę, że może to być przykład sytuacji omawianej w twoim pytaniu.]

Istnieje wiele przykładów niespójnych estymatorów ML. Niespójność jest powszechnie obserwowana w przypadku szeregu nieco skomplikowanych problemów z mieszaniną i problemów cenzury.

[Spójność testu polega w zasadzie na tym, że moc testu dla (ustalonej) fałszywej hipotezy wzrasta do jednego jako .]$n\to\infty$

Radford Neal podaje przykład w swoim blogu z 2008-08-09 Niespójne oszacowanie maksymalnego prawdopodobieństwa: przykład „zwykły” . Polega na oszacowaniu parametru w:$\theta$

(Neal używa gdzie mam θ ), gdzie oszacowanie ML θ będzie miało tendencję do 0 jako n → ∞ (i rzeczywiście prawdopodobieństwo może być znacznie wyższe w piku w pobliżu 0 niż w przypadku wartości rzeczywistej dla dość niewielkich rozmiarów próbek). Niemniej jednak jest tak, że szczyt znajduje się w pobliżu prawdziwej wartości θ , jest po prostu mniejszy niż ten w pobliżu 0.$t$$\theta$$\theta$$0$$n\to\infty$$\theta$

Wyobraź sobie teraz dwa przypadki związane z tą sytuacją:

a) przeprowadzenie testu stosunku wiarygodności stosunku do alternatywnego H 1 : θ < θ 0 ;$H_0: \theta=\theta_0$$H_1: \theta<\theta_0$

b) wykonanie testu stosunku wiarygodności stosunku do alternatywnego H 1 : θ ≠ θ 0 .$H_0: \theta=\theta_0$$H_1: \theta\neq\theta_0$

W przypadku (a) wyobraź sobie, że prawdziwe (tak, że alternatywa jest prawdziwa, a 0 to druga strona prawdziwej θ ). Następnie, pomimo faktu, że prawdopodobieństwo bardzo bliskie 0 przekroczy prawdopodobieństwo dla θ , prawdopodobieństwo przy θ mimo to przekracza prawdopodobieństwo przy θ 0 nawet w małych próbkach, a stosunek będzie nadal wzrastał jako n → ∞ , w takich sposób, aby prawdopodobieństwo odrzucenia w teście współczynnika prawdopodobieństwa sięgało 1.$\theta<\theta_0$$0$$\theta$$\theta$$\theta$$\theta_0$$n\to\infty$

Rzeczywiście, nawet w przypadku (b), o ile jest ustalone i ograniczone od 0 , powinno również być tak, że iloraz prawdopodobieństwa wzrośnie w taki sposób, aby prawdopodobieństwo odrzucenia w teście ilorazu prawdopodobieństwa również podejście 1.$\theta_0$$0$

Wydaje się więc, że jest to przykład niespójnego oszacowania ML, w którym moc LRT powinna mimo wszystko osiągnąć 1 (z wyjątkiem sytuacji, gdy ).$\theta_0=0$

[Zauważ, że tak naprawdę nie ma w tym nic, co nie jest jeszcze odpowiedzią Whubera, co moim zdaniem jest przykładem przejrzystości i jest znacznie prostsze do zrozumienia różnicy między spójnością testu a spójnością estymatora. Fakt, że niespójny estymator w konkretnym przykładzie nie był ML, nie ma tak naprawdę znaczenia, o ile zrozumienie tej różnicy - i wprowadzenie niespójnego estymatora, który jest konkretnie ML - jak próbowałem tutaj zrobić - tak naprawdę nie zmienia wyjaśnienie w jakikolwiek merytoryczny sposób. Jedynym prawdziwym punktem tego przykładu jest to, że myślę, że rozwiązuje on Twoje obawy związane z użyciem estymatora ML.]

$(X_n)$$(\mu, 1)$

$T(X_1,\ldots,X_n)=1+\bar{X}$$(\mu+1, 1/\sqrt{n})$$\mu+1\ne \mu$

$\mu=\mu_0$$\mu=\mu_A$$\bar{X}$$T$$T$$\mu+1=\mu_0+1$$\mu+1=\mu_A+1$$1$$\alpha\gt 0$$T$$1$