Oryginalny plakat poprosił o odpowiedź „wytłumacz jak jestem 5”. Powiedzmy, że nauczyciel w szkole zaprasza ciebie i twoich kolegów, aby odgadli szerokość stołu nauczyciela. Każdy z 20 uczniów w klasie może wybrać urządzenie (linijkę, skalę, taśmę lub miernik) i może zmierzyć stół 10 razy. Wszyscy są proszeni o użycie różnych lokalizacji początkowych w urządzeniu, aby uniknąć ciągłego odczytywania tego samego numeru; odczyt początkowy należy następnie odjąć od odczytu końcowego, aby w końcu uzyskać jeden pomiar szerokości (ostatnio nauczyłeś się, jak wykonywać tego rodzaju matematykę).
Klasa wykonała w sumie 200 pomiarów szerokości (20 uczniów, po 10 pomiarów każdy). Obserwacje są przekazywane nauczycielowi, który skruszy liczby. Odjęcie obserwacji każdego ucznia od wartości odniesienia spowoduje kolejne 200 liczb, zwanych odchyleniami . Nauczyciel uśrednia próbkę każdego ucznia osobno, uzyskując 20 środków . Odjęcie obserwacji każdego ucznia od jego indywidualnej średniej spowoduje 200 odchyleń od średniej, zwanych resztami . Gdyby obliczono średnią resztkową dla każdej próbki, można zauważyć, że zawsze wynosi zero. Jeśli zamiast tego wyprostujemy każdą resztę, uśrednimy ją i ostatecznie cofniemy kwadrat, otrzymamy odchylenie standardowe. (Nawiasem mówiąc, nazywamy to ostatnie obliczenie bitem pierwiastka kwadratowego (pomyślmy o znalezieniu podstawy lub boku danego kwadratu), więc cała operacja jest w skrócie często nazywana pierwiastkiem średnim kwadratem , w skrócie; standardowe odchylenie obserwacji wynosi średnia kwadratowa reszt.)
Ale nauczyciel znał już prawdziwą szerokość stołu, na podstawie tego, jak został zaprojektowany, zbudowany i sprawdzony w fabryce. Zatem kolejne 200 liczb, zwanych błędami , można obliczyć jako odchylenie obserwacji w stosunku do prawdziwej szerokości. Średni błąd można obliczyć dla każdej próbki studentów. Podobnie, 20 odchyleń standardowych błędu lub błędu standardowego , można obliczyć dla obserwacji. Więcej 20 błąd średniej kwadratowejwartości można również obliczyć. Trzy zestawy 20 wartości są powiązane jako sqrt (me ^ 2 + se ^ 2) = rmse, w kolejności pojawiania się. Opierając się na rmse, nauczyciel może ocenić, czyj uczeń podał najlepszą ocenę szerokości stołu. Ponadto, patrząc oddzielnie na 20 średnich błędów i 20 standardowych wartości błędów, nauczyciel może pouczyć każdego ucznia, jak poprawić swoje odczyty.
W ramach kontroli nauczyciel odejmował każdy błąd od odpowiadającego mu średniego błędu, co skutkowało kolejnymi 200 liczbami, które nazywamy błędami resztkowymi (co nie jest często wykonywane). Jak wyżej, średni błąd resztkowy wynosi zero, więc odchylenie standardowe błędów resztkowych lub standardowy błąd resztkowy jest taki sam, jak błąd standardowy , i tak samo jest również z błędem resztkowym średniej kwadratowej . (Szczegóły poniżej.)
Teraz jest coś interesującego dla nauczyciela. Możemy porównać średnią każdego ucznia z resztą klasy (20 oznacza w sumie). Tak jak zdefiniowaliśmy przed tymi wartościami punktowymi:
- m: średnia (z obserwacji),
- s: odchylenie standardowe (obserwacji)
- ja: średni błąd (z obserwacji)
- se: błąd standardowy (z obserwacji)
- rmse: błąd średniokwadratowy (z obserwacji)
możemy również zdefiniować teraz:
- mm: średnia średnich
- sm: odchylenie standardowe średniej
- mem: średni błąd średniej
- sem: błąd standardowy średniej
- rmsem: błąd średniokwadratowy średniej
Tylko jeśli mówi się, że klasa uczniów jest bezstronna, tj. Jeśli mem = 0, to sem = sm = rmsem; tj. błąd standardowy średniej, odchylenie standardowe średniej i błąd pierwiastkowy średniej kwadratowej średnia może być taka sama, pod warunkiem, że średni błąd średniej wynosi zero.
Gdybyśmy pobrali tylko jedną próbkę, tj. Gdyby w klasie był tylko jeden uczeń, odchylenie standardowe obserwacji (s) można by zastosować do oszacowania odchylenia standardowego średniej (sm), jako sm ^ 2 ~ s ^ 2 / n, gdzie n = 10 to wielkość próby (liczba odczytów na ucznia). Oba będą się lepiej zgadzać w miarę wzrostu wielkości próby (n = 10,11, ...; więcej odczytów na ucznia) i liczby próbek rośnie (n '= 20,21, ...; więcej uczniów w klasie). (Zastrzeżenie: niekwalifikowany „błąd standardowy” częściej odnosi się do standardowego błędu średniej, a nie do standardowego błędu obserwacji.)
Oto kilka szczegółów związanych z obliczeniami. Prawdziwa wartość jest oznaczona t.
Operacje od punktu do punktu:
- średnia: MEAN (X)
- pierwiastek średni-kwadrat: RMS (X)
- odchylenie standardowe: SD (X) = RMS (X-MEAN (X))
ZESTAWY PRÓBEK:
- obserwacje (podane), X = {x_i}, i = 1, 2, ..., n = 10.
- odchylenia: różnica zestawu względem stałego punktu.
- reszty: odchylenie obserwacji od ich średniej, R = Xm.
- błędy: odchylenie obserwacji od wartości rzeczywistej, E = Xt.
- błędy resztkowe: odchylenie błędów od ich średniej, RE = E-MEAN (E)
PUNKTY WEWNĘTRZNE (patrz tabela 1):
- m: średnia (z obserwacji),
- s: odchylenie standardowe (obserwacji)
- ja: średni błąd (z obserwacji)
- se: błąd standardowy obserwacji
- rmse: błąd średniokwadratowy (z obserwacji)
ZESTAWY MIĘDZYPróbKOWE (ZESTAWOWE):
- oznacza, M = {m_j}, j = 1, 2, ..., n '= 20.
- reszty średniej: odchylenie średnich od ich średniej, RM = M-mm.
- błędy średniej: odchylenie średnich od „prawdy”, EM = Mt.
- błędy resztkowe średniej: odchylenie błędów średniej od ich średniej, REM = EM-MEAN (EM)
PUNKTY MIĘDZY PRÓBKAMI (ZATRUDNIANE) (patrz tabela 2):
- mm: średnia średnich
- sm: odchylenie standardowe średniej
- mem: średni błąd średniej
- sem: błąd standardowy (średniej)
- rmsem: błąd średniokwadratowy średniej