Jaki jest rozkład stosunku dwóch zmiennych losowych Poissona?

Mam pytanie dotyczące zmiennych losowych. Załóżmy, że mamy dwie zmienne losowe i . Powiedzmy, że jest rozkładem Poissona z parametrem , a jest rozkładem Poissona z parametrem . $X$ $Y$ $X$ $\lambda_1$ $Y$ $\lambda_2$

Kiedy budujesz złamanie na podstawie i nazywasz to losową zmienną , jak to jest rozłożone i co to znaczy? Czy to jest ? $X/Y$ $Z$ $\lambda_1/\lambda_2$

random-variable poisson-distribution

— MarkDollar
źródło

Po prostu natknąłem się na to, szukając referencji. Wnioskowanie o współczynniku Poissona jest dość proste, zarówno dla częstych ( Nelson, 1970, „Przedziały ufności dla stosunku dwóch współczynników Poissona i przedziałów predykcyjnych Poissona” ), jak i Bayesianów (Lindley, 1965). Nie ma też problemu z zerowymi mianownikami!

— Frank Tuyl

Pierwotny pytający i inni mogą być zainteresowani zauważeniem, że

ma wartość oczekiwaną

. W zależności od zastosowania mogą być większe niż jest to

. Aby uzyskać więcej informacji, zobacz mój artykuł w Journal of Analytical Atomic Spectrometry, 28 , 52, zatytułowany „Statystyka statystyczna w stosunkach izotopowych” w / DOI: 10.1039 / C2JA10205F.

X / (Y + 1)

$X/(Y+1)$

(λ_{1} / λ_{2}) (1 - e^{- λ_{2}})

$(\lambda_1/\lambda_2) (1-e^{-\lambda_2})$

X / Y

$X/Y$

Jest to często spotykany problem w astronomii. Rozwiązanie bayesowskie zostało opracowane przez Park i in. (2006, Astrophysical Journal, v652, 610-628, Bayesian Estimation of Hardness Ratits: Modeling and Computations ). Obejmują one zanieczyszczenie tła w ich leczeniu.

— user78543

Z abstrakcji nie jest oczywiste, że mają do czynienia z pytaniem PO. Jak ten artykuł odnosi się do rozkładu stosunku dwóch zmiennych losowych Poissona?

— Andy

ttu-ir.tdl.org/ttu-ir/bitstream/handle/2346/59954/…

— kjetil b halvorsen

Odpowiedzi:

Myślę, że będziesz miał z tym problem. Ponieważ zmienna Y będzie miała zero, X / Y będzie mieć pewne niezdefiniowane wartości, takie, że nie dostaniesz rozkładu.

— rachunek_80
źródło

+1 Zgadza się. Ale (aby uniknąć ewentualnego zamieszania) problemem nie jest tylko to, że

może wynosić

: to, że może równać się

z prawdopodobieństwem dodatnim. (Na przykład iloraz normalnych ma rozkład, mimo że mianownik może być równy

) Zatem

jest niezdefiniowane z prawdopodobieństwem dodatnim, co powoduje, że jego średnia (i każdy inny moment) również nie jest zdefiniowana.

Y

$Y$

0

$0$

0

$0$

0

$0$

X / Y

$X/Y$

— whuber

+1, ale w literaturze na temat odsetka fałszywych odkryć ludzie nie mają problemu z

gdzie

jest prawdziwymi pozytywami, a

jest całkowitą liczbą pozytywów :-). Konwencjonalnie zawsze rozumie się, że 0 na 0 równa się 0.

X / Y

$X/Y$

X

$X$

Y

$Y$

— NRH

@Mark: Prawdopodobnie lepiej zadać to pytanie jako nowe pytanie i uzyskać szczegółowe informacje na temat tego, co próbujesz osiągnąć.

— bill_080

@NRH W Twoim przypadku istnieje silna zależność

. To całkowicie zmienia rzeczy, ponieważ teraz prawdopodobieństwo stosunku dodatniego do zerowego wynosi zero.

X

$X$

Y

$Y$

— whuber

@ whuber, to oczywiście prawda. Dzięki za zwrócenie na to uwagi. Myślałem tylko, że może istniała jakaś nieokreślona konwencja, która nadała temu problemowi znaczenie. Ale z powyższego komentarza @ MarkDollar wydaje się, że nie było tak na początku.

— NRH

Uświadamiając sobie, że stosunek nie jest w rzeczywistości dobrze zdefiniowanym zbiorem mierzalnym, redefiniujemy stosunek jako właściwie mierzalny zbiór

P [\frac{X}{Y} \leq r] := P [X \leq r Y] = \sum_{y = 0}^{\infty} \sum_{x = 0}^{⌊ r y ⌋} \frac{λ_{2}^{y}}{y!} e^{- λ_{2}} \frac{λ_{1}^{x}}{x!} e^{- λ_{1}}

$\mathbb{P}\left[\frac{X}{Y} \leq r \right] := \mathbb{P}\left[X \leq r Y\right]\\ = \sum_{y = 0}^\infty \sum_{x=0}^{\left\lfloor ry \right\rfloor} \frac{\lambda_{2}^y }{y!}e^{-\lambda_2} \frac{\lambda_{1}^x }{x!}e^{-\lambda_1}$ where the summation follows as long as

r > 0

$r > 0$ , and

X

$X$ and

Y

$Y$ are independent Poisson variables. The density follows from the Radon-Nykodym theorem.

— Aaron Sheldon
źródło

Suppose that

Y

$Y$ comes from a zero-truncated Poisson distribution. Would the answer then be:

— Brash Equilibrium