Jak mogę uwzględnić kowariancję przestrzenną w modelu liniowym?

tło

Mam dane z badań terenowych, w których istnieją cztery poziomy leczenia i sześć powtórzeń w każdym z dwóch bloków. (4x6x2 = 48 obserwacji)

Bloki są oddalone od siebie o około 1 milę, aw obrębie bloków znajduje się siatka o powierzchni 42, 2m x 4m i chodnik o szerokości 1m; moje badanie wykorzystało tylko 24 wykresy w każdym bloku.

Chciałbym ocenić ocenę kowariancji przestrzennej.

Oto przykładowa analiza wykorzystująca dane z jednego bloku, bez uwzględnienia kowariancji przestrzennej. W zestawie danych, plotjest identyfikatorem wykresu, xjest położeniem xi położeniem yy każdego wykresu z wykresem 1 wyśrodkowanym na 0, 0. leveljest poziomem leczenia i responsejest zmienną odpowiedzi.

layout <- structure(list(plot = c(1L, 3L, 5L, 7L, 8L, 11L, 12L, 15L, 16L, 
17L, 18L, 22L, 23L, 26L, 28L, 30L, 31L, 32L, 35L, 36L, 37L, 39L, 
40L, 42L), level = c(0L, 10L, 1L, 4L, 10L, 0L, 4L, 10L, 0L, 4L, 
0L, 1L, 0L, 10L, 1L, 10L, 4L, 4L, 1L, 1L, 1L, 0L, 10L, 4L), response = c(5.93, 
5.16, 5.42, 5.11, 5.46, 5.44, 5.78, 5.44, 5.15, 5.16, 5.17, 5.82, 
5.75, 4.48, 5.25, 5.49, 4.74, 4.09, 5.93, 5.91, 5.15, 4.5, 4.82, 
5.84), x = c(0, 0, 0, 3, 3, 3, 3, 6, 6, 6, 6, 9, 9, 12, 12, 12, 
15, 15, 15, 15, 18, 18, 18, 18), y = c(0, 10, 20, 0, 5, 20, 25, 
10, 15, 20, 25, 15, 20, 0, 15, 25, 0, 5, 20, 25, 0, 10, 20, 
25)), .Names = c("plot", "level", "response", "x", "y"), row.names = c(NA, 
-24L), class = "data.frame")

model <- lm(response ~ level, data = layout)      
summary(model)

pytania

1. Jak obliczyć macierz kowariancji i uwzględnić ją w regresji?
2. Bloki są bardzo różne i występują silne interakcje bloków leczenia *. Czy należy je analizować osobno?

1) Możesz modelować korelację przestrzenną z nlmebiblioteką; istnieje kilka możliwych modeli, które możesz wybrać. Zobacz strony 260-266 Pinheiro / Bates.

Dobrym pierwszym krokiem jest wykonanie wariogramu, aby zobaczyć, jak korelacja zależy od odległości.

library(nlme)
m0 <- gls(response ~ level, data = layout)  
plot(Variogram(m0, form=~x+y))

W tym przypadku przykładowy semiwariogram rośnie wraz z odległością, wskazując, że obserwacje są rzeczywiście skorelowane przestrzennie.

Jedną opcją dla struktury korelacji jest struktura sferyczna; które można modelować w następujący sposób.

m1 <- update(m0, corr=corSpher(c(15, 0.25), form=~x+y, nugget=TRUE))

Ten model wydaje się pasować lepiej niż model bez struktury korelacji, chociaż jest całkowicie możliwe, że można go również ulepszyć za pomocą jednej z innych możliwych struktur korelacji.

> anova(m0, m1)
   Model df     AIC      BIC    logLik   Test  L.Ratio p-value
m0     1  3 46.5297 49.80283 -20.26485                        
m1     2  5 43.3244 48.77961 -16.66220 1 vs 2 7.205301  0.0273

2) Możesz także spróbować włączyć xi ybezpośrednio do modelu; może to być właściwe, jeśli wzór korelacji zależy od więcej niż odległości. W twoim przypadku (patrząc na zdjęcia sesqu) wydaje się, że i tak dla tego bloku możesz mieć ukośny wzór.

Tutaj aktualizuję oryginalny model zamiast m0, ponieważ zmieniam tylko stałe efekty, więc oba modele powinny być dopasowane z maksymalnym prawdopodobieństwem.

> model2 <- update(model, .~.+x*y)
> anova(model, model2)
Analysis of Variance Table

Model 1: response ~ level
Model 2: response ~ level + x + y + x:y
  Res.Df    RSS Df Sum of Sq      F   Pr(>F)   
1     22 5.3809                                
2     19 2.7268  3    2.6541 6.1646 0.004168 **

Aby porównać wszystkie trzy modele, musisz dopasować je wszystkie glsi metodę największej wiarygodności zamiast domyślnej metody REML.

> m0b <- update(m0, method="ML")
> m1b <- update(m1, method="ML")
> m2b <- update(m0b, .~x*y)
> anova(m0b, m1b, m2b, test=FALSE)
    Model df      AIC      BIC     logLik
m0b     1  3 38.22422 41.75838 -16.112112
m1b     2  5 35.88922 41.77949 -12.944610
m2b     3  5 29.09821 34.98847  -9.549103

Pamiętaj, że zwłaszcza dzięki swojej wiedzy na temat badania możesz być w stanie wymyślić model lepszy niż którykolwiek z nich. Oznacza to, że model m2bnie musi być uważany za najlepszy jak dotąd.

Uwaga: Obliczenia te wykonano po zmianie wartości x wykresu 37 na 0.

1) Jaka jest twoja zmienna wyjaśniająca przestrzennie? Wygląda na to, że płaszczyzna x * y byłaby złym modelem dla efektu przestrzennego.

i=c(1,3,5,7,8,11,14,15,16,17,18,22,23,25,28,30,31,32,35,36,39,39,41,42)
l=rep(NA,42)[i];l[i]=level
r=rep(NA,42)[i];r[i]=response
image(t(matrix(-l,6)));title("treatment")
image(t(matrix(-r,6)));title("response")

2) Biorąc pod uwagę, że bloki są oddalone o 1 milę od siebie, a spodziewasz się zobaczyć efekty na zaledwie 30 metrach, powiedziałbym, że całkowicie właściwe jest analizowanie ich osobno.