Stabilne rozkłady, które można pomnożyć?

Stabilne rozkłady są niezmienne przy zwojach. Jakie podrodziny rozkładów stabilnych są również zamykane przy mnożeniu? W tym sensie, że jeśli i , to funkcja gęstości prawdopodobieństwa iloczynu, (do stałej normalizacyjnej) również należy do ? $F$ $f\in F$ $g\in F$ $f \cdot g$ $F$

Uwaga: zasadniczo zmieniłem treść tego pytania. Ale pomysł jest zasadniczo taki sam, a teraz jest o wiele prostszy. Miałem tylko częściową odpowiedź, więc myślę, że jest w porządku.

distributions convolution stable-distribution

— becko
źródło

Jeśli dziedzina jest ograniczona, średnia i wariancja (a właściwie wszystkie momenty) muszą być skończone. Czy jesteś pewien, że istnieją jakieś znane dystrybucje, które spełniają wszystkie warunki?

— Glen_b

@Glen_b Jeśli możliwe jest udowodnienie, że nie istnieje dystrybucja we wszystkich tych warunkach, zaakceptuję odpowiedź z tym dowodem.

— becko

Czym dokładnie jest „jednolity” ograniczony rozkład równomierny w (5)? Czy jest to jeden rozkład (a jeśli tak, jakie są jego parametry), czy jest to rodzina rozkładów jednorodnych (a jeśli tak, to jaka to rodzina)?

— whuber

(1) Czy przez „podrodzinę” rozumiesz stabilne rozkłady ? (2a) Jeśli tak, to biorąc pod uwagę, że iloczyn Gaussów jest oczywiście innym Gaussianem, masz natychmiastową odpowiedź pozytywną. (2b) Jeśli nie, istnieją niezliczone odpowiedzi. Zacznij od dowolnej rodziny ciągłych dystrybucji o wszędzie dodatniej gęstości. Najmniejsza rodzina, która zawiera i jest zamknięta w ramach znormalizowanych produktów funkcji gęstości, wykonuje to zadanie. Możesz je obliczyć, gdy ma tylko jeden element.

F

$\mathcal F$

F

$\mathcal F$

F

$\mathcal F$

— whuber

@ whuber Tak, mam na myśli podrodzinę stabilnych dystrybucji. Masz rację, Gaussianin spełnia moje kryteria. Właściwie szukałem innych przykładów, ale zapomniałem o tym wspomnieć. Czy są jakieś inne dystrybucje, które również spełniają moje kryteria? Zaktualizuję pytanie, dziękuję za pomoc w wyjaśnieniu.

— becko

Odpowiedzi:

„Stabilna dystrybucja” jest szczególnym rodzajem rodziny dystrybucji w skali lokalizacji. Klasa stabilnych rozkładu jest parametryzowany z dwóch rzeczywistych liczb, stabilności i asymetrii . $\alpha\in(0,2]$ $\beta\in[-1,1]$

Wynik cytowany w artykule Wikipedia rozwiązuje to pytanie o zamknięcie pod produktami funkcji gęstości. Gdy jest gęstością rozkładu stabilnego z , to jest asymptotycznie $f$ $\alpha \lt 2$

f (x) \sim | x |^{- (1 + α)} g (sgn (x), α, β)

$f(x) \sim |x|^{-(1+\alpha)} g(\operatorname{sgn}(x), \alpha, \beta)$

dla wyraźnie określonej funkcji której szczegóły nie mają znaczenia. (W szczególności będzie niezerowe dla wszystkich dodatnich lub wszystkich ujemnych lub obu.) Iloczyn dowolnych dwóch takich gęstości będzie zatem asymptotycznie proporcjonalny do w at przynajmniej jeden ogon. Ponieważ , ten produkt (po renormalizacji) nie może odpowiadać żadnej dystrybucji w tej samej stabilnej rodzinie. $g$ $g$ $x$ $x$ $|x|^{-2(1+\alpha)}$ $2(1+\alpha)\ne 1+\alpha$

(Rzeczywiście, ponieważ dla dowolnego możliwego , iloczyn dowolnych trzech takich funkcji gęstości nie może nawet być funkcją gęstości dowolnej stabilnej dystrybucji. To niweczy wszelkie nadzieje na rozszerzenie idei zamknięcia produktu z jednej stabilnej dystrybucji na zestaw stabilnych dystrybucji.) $3(1+\alpha) \ne 1+\alpha^\prime$ $\alpha^\prime\in(0,2]$

Jedyną pozostałą możliwością jest . Są to rozkłady normalne o gęstościach proporcjonalnych do dla parametrów lokalizacji i skali i . Łatwo jest sprawdzić, czy iloczyn dwóch takich wyrażeń ma tę samą formę (ponieważ suma dwóch form kwadratowych w jest inną formą kwadratową w ). $\alpha=2$ $\exp(-(x-\mu)^2/(2\sigma^2))$ $\mu$ $\sigma$ $x$ $x$

Unikalna odpowiedź jest zatem taka, że rodzina dystrybucji normalnej jest jedynym stabilnym rozkładem produktu o zamkniętej gęstości.

— Whuber
źródło

Fajne! Jest to dobry sposób na zdefiniowanie rozkładu normalnego jako unikalnej stabilnej i zamkniętej pod produktami. Dzięki

— becko

Wiem, że to jest częściowa odpowiedź i nie jestem ekspertem, ale to może pomóc: jeśli jeden z dwóch unimodalnych plików pdf jest wklęsły, to ich splot jest niejednoznaczny. Ze względu na Ibragimov (1956) , za pośrednictwem tych notatek . Najwyraźniej, jeśli oba są wklęsłe, wówczas splot jest również wklęsły.

Jeśli chodzi o zamknięcie produktu, jedynym „czystym” wynikiem, jaki znam dla dystrybucji produktu, jest twierdzenie o granicy opisane w tej odpowiedzi matematycznej .

Jak o okrojonej wersji nich ? Ograniczony rozkład równomierny jest ograniczającym przypadkiem jego parametru kształtu i, o ile wiem, są one jednomodalne i wklęsłe, więc mają jednomodalne, wklęsłe logi. Nie mam pojęcia o ich produktach. Kiedy będę miał więcej czasu w tym tygodniu, mogę spróbować przeprowadzić symulacje, aby sprawdzić, czy otrzymam produkty wklęsłe z logarytmem okrojonych rozkładów błędów. Może Govindarajulu (1966) pomógłby.

Nie jestem pewien, jakie są zasady dotyczące crossspostingu, ale wygląda na to, że ludzie z matematyki też mogą ci pomóc. Z ciekawości próbujesz zbudować strukturę algebraiczną z rozkładów prawdopodobieństwa?

— Shadowtalker
źródło

Zasady dotyczące crossspostingu znajdują się na pierwszej stronie pomocy. Mówi „proszę nie krzyżować”. Powinniśmy wybrać najlepszą stronę dla naszego pytania. W razie potrzeby pytanie można migrować. Jeśli część pytania lepiej pasuje do innej witryny, pytanie należy zadać jako dwa osobne pytania (które można połączyć).

— Glen_b