Jakie są warunki prawidłowości testu ilorazu wiarygodności

Czy ktoś mógłby mi powiedzieć, jakie są warunki prawidłowości dla asymptotycznego rozkładu testu ilorazu wiarygodności?

Gdziekolwiek spojrzę, jest napisane „W warunkach prawidłowości” lub „Zgodnie z probabilistycznymi prawidłowościami”. Jakie są dokładnie warunki? Czy istnieją pierwsze i drugie pochodne prawdopodobieństwa logarytmicznego, a matryca informacji nie jest równa zero? A może coś zupełnie innego?

maximum-likelihood likelihood-ratio asymptotics

— Kingstat
źródło

Wymagane warunki regularności są wymienione w większości podręczników pośrednich i nie różnią się od warunków mle. Poniższe dotyczą przypadku z jednym parametrem, ale ich rozszerzenie na jeden z parametrów wieloparametrowych jest proste.

Warunek 1 : Pliki pdf są różne, tzn. $\theta \neq \theta ^{\prime} \Rightarrow f(x_i;\theta)\neq f(x_i;\theta ^{\prime})$

Zauważ, że ten warunek zasadniczo stwierdza, że parametr identyfikuje pdf.

Warunek 2: Pliki PDF mają wspólne wsparcie dla wszystkich $\theta$

Oznacza to, że wsparcie nie zależy od $\theta$

Warunek 3 : Punkt , czyli rzeczywisty parametr, jest punktem wewnętrznym w pewnym zestawie $\theta_0$ $\Omega$

Ostatni dotyczy możliwości pojawienia się w punktach końcowych interwału. $\theta$

Te trzy razem gwarancja, że prawdopodobieństwo jest zmaksymalizowane na prawdziwego parametru , a następnie, że MLE który rozwiązuje równanie $\theta_0$ $\hat{\theta}$

\frac{\partial l (θ)}{\partial θ} = 0

$\frac{\partial l(\theta)} {\partial \theta}=0$

jest spójny.

Warunek 4 : Plik pdf można dwukrotnie rozróżnić w funkcji $f(x;\theta)$ $\theta$

Warunek 5 : Całka może być różnicowana dwukrotnie pod znakiem całki w funkcji $\int_{-\infty}^{\infty} f(x;\theta)\ \mathrm dx$ $\theta$

Potrzebujemy dwóch ostatnich, aby uzyskać informację Fishera, która odgrywa centralną rolę w teorii zbieżności mle.

Dla niektórych autorów są one wystarczające, ale jeśli mamy być dokładni, potrzebujemy dodatkowo ostatecznego warunku, który zapewni asymptotyczną normalność mle.

Warunek 6 : pdf jest trzykrotnie różniczkowalny w funkcji . Ponadto dla wszystkich istnieje stała i funkcja taka, że $f(x;\theta)$ $\theta$ $\theta \in \Omega$ $c$ $M(x)$

| \frac{\partial^{3)} l o sol fa (x; θ)}{\partial θ^{3)}} | \leq M. (x)

$\left| \frac{\partial^3 log f(x;\theta)}{\partial \theta^3} \right| \leq M(x)$

z dla wszystkich i wszystkie na poparcie $E_{\theta_0} \left[M(X)\right] <\infty$ $|\theta-\theta_0|<c$ $x$ $X$

Zasadniczo ostatni warunek pozwala nam wnioskować, że pozostała część ekspansji Taylora drugiego rzędu o jest ograniczona prawdopodobieństwem, a zatem nie stanowi problemu asymptotycznie. $\theta_0$

Czy o to ci chodziło?

— JohnK
źródło

Dzięki. Ale jesteś pewien, że warunki prawidłowości związane z dowodem, że -2log (lambda) podąża za Chi kwadrat z df 1 są takie same?

— Kingstat

@Kingstat Tak. Warunki te pochodzą od Hogga i Craiga „Wprowadzenie do statystyki matematycznej” i zapewniają, że przy

, to jest

H_{0}

$H_0$

θ = θ_{0}

$\theta=\theta_0$

- 2 \log Λ \to^{D} χ^{2} (1)

$-2\log\Lambda \to^D \chi^2 (1)$

— JohnK

czy możesz mi również powiedzieć, jak dla gęstości N (θ, 1) test wyniku Rao jest równoważny testowi UMPU?

— Kingstat

@Kingstat Co oznacza skrót UMPU?

— JohnK,

Równomiernie najsilniejszy bezstronny.

— Kingstat