Niezrozumienie oszacowania Monte Carlo Pi

Jestem całkiem pewien, że rozumiem, jak działa integracja Monte Carlo, ale nie rozumiem sformułowania, w jaki sposób jest ona używana do oszacowania Pi. Postępuję zgodnie z procedurą opisaną na 5. slajdzie tej prezentacji http://homepages.inf.ed.ac.uk/imurray2/teaching/09mlss/slides.pdf

Rozumiem wstępne kroki. Pi jest równe 4-krotności pola jednej czwartej okręgu jednostki. A obszar prawej górnej ćwiartki koła jednostkowego wyśrodkowany na (0,0) jest równoważny całce krzywej, która jest prawą górną ćwiartką koła jednostkowego w$0<x<1$ i $0<y<1$.

Nie rozumiem, jak ta całka jest

$\iint I((x^2+y^2)<1)P(x,y)dxdy$

gdzie jest równomiernie rozmieszczone w jednostce kwadratowej wokół ćwiartki koła (tzn. zawsze jest równe 1, jeśli i i 0 w przeciwnym razie). Oznaczałoby to więc, że jest funkcją, która jest prawą górną ćwiartką koła jednostek przy i ale nie rozumiem, jak to jest prawda, ponieważ funkcja wskaźnika może wynosić tylko 1 lub 0. Rozumiem, że jest prawdopodobnie napisane w ten sposób, aby ułatwić próbkowanie Monte Carlo (tj. Jest to oczekiwanie, więc po prostu próbkuj z i uzyskaj średnią z próbek zastosowanych do$P(x,y)$$0<x<1$$0<y<1$$I((x^2+y^2)<1)P(x,y)$
$0<x<1$$0<y<1$$P(x,y)$$I((x^2+y^2)<1)$), ale nie ma dla mnie intuicyjnego uzasadnienia, dlaczego ta całka reprezentuje obszar pod tą krzywą.

Czy ktoś mógłby podać intuicyjne wyjaśnienie tego. Może pokaż, w jaki sposób tę całkę uzyskano krok po kroku?

EDYTOWAĆ:

Byłem w stanie lepiej zrozumieć, odnosząc oczekiwania do danego obszaru. Wyjaśnię to tutaj na wypadek, gdyby komukolwiek to pomogło. Najpierw zacznij od powiązania Pi z obszarem prawej górnej ćwiartki koła jednostek

$\pi=4\times A_{tr}$

Następnie umieszczamy prawy górny kwadrant w kwadracie jednostki. A przy równomiernym rozmieszczeniu na kwadracie jednostkowym pole kwadrantu koła jest proporcjonalne do prawdopodobieństwa uzyskania z niego próbki. Wynika z tego, że obowiązuje następująca równość

$P(x^2+y^2<1)=\frac{A_{tr}}{A_{square}}$

i tak$A_{square}=1$

$P(x^2+y^2<1)=A_{tr}$

I podstawiając do pierwotnego równania

$\pi=4\times P(x^2+y^2<1)$

i prawdą jest również, że która jest równa pierwotnej podwójnej całce.$P(x^2+y^2<1)=E[I(x^2+y^2<1)]$

Zrozumiałem to, odnosząc obszar do prawdopodobieństwa, a następnie odnosząc to prawdopodobieństwo do oczekiwania równoważnego całce. Daj mi znać, jeśli popełniłem jakieś błędy.

Pole okręgu koła o promieniu jest równe . Oznacza to, że jedna czwarta koła ma powierzchnię . Oznacza to, że kwadrat o boku promienia okręgu jako .$l$$\pi l^2$$l^2\pi/4$$area=l^2$

Oznacza to, że stosunek między powierzchnią ćwiartki koła a powierzchnią kwadratu wynosi . $\pi/4$

Punkt znajduje się w kwadracie, jeśli . i jest w ćwiartce koła, jeśli . $(x,y)$$0<x<1, 0<y<1$$0<x<1, 0<y<1 ,x^2+y^2<1$

Twoja całka jest więc To jest dokładnie obszar opisany przez ćwierć koła$∬I((x^2+y^2)<1)P(x,y)= ∬I((x^2+y^2)<1) I(0<x<1)I(0<y<1)$

Najprostsze intuicyjne wyjaśnienie polega na zrozumieniu, że . Zatem . Po sobie sprawę podwójnego integal jest po prostu prawdopodobieństwo, powinien on dokonać intuicyjne poczucie, że można spróbować i od placu jednostki i obliczenia proporcji rysuje dla których . $E(I(A)) = P(A)$$\int \int I(x^2+y^2 < 1)dxdy = P(x^2 + y^2 < 1)$$x$$y$$x^2 + y^2 <1$

Być może inną intuicją, której brakuje w twoim zrozumieniu, jest związek między obszarem a prawdopodobieństwem. Ponieważ obszar całej kwadrat jednostki wynosi 1 i punkty są równomiernie rozmieszczone w obrębie kwadratu, powierzchni każdego obszaru w kwadrat jednostki odpowiadałaby prawdopodobieństwo, że losowo wybrany punkt będzie mieścić się w zakresie .$(x,y)$$A$$A$

Wylądowałem na tym surfingowym CV i widzę, że kod Monte Carlo jest w Octave. Zdarza się, że mam symulację w R, która sprawia, że ​​pomysł uzyskania liczby jako dwuwymiarowego rozkładu jednorodnego w płaszczyźnie pod ograniczeniami całek w OP jest bardzo intuicyjny:$\pi$$[0,1]$

Biorąc pod uwagę, że ćwiartka koła jest zamknięta w 1-jednostkowym kwadracie, obszar wynosi . Tak więc generowanie równomiernie rozmieszczonych punktów na kwadracie zakończy wykładzinę całego kwadratu, a obliczenie frakcji spełniającej będzie równoznaczne z całkowaniem ponieważ właśnie wybieramy ułamek kropek w okręgu w stosunku do kwadratu jednostkowego:$\pi/4$$(x,y)$$1 < \sqrt{(x^2+y^2)}$$∬\textbf{1}((x^2+y^2)<1) \,\textbf{1}(0<x<1)\,\textbf{1}(0<y<1)$

x <- runif(1e4); y <- runif(1e4)
radius <- sqrt(x^2 + y^2)
# Selecting those values within the circle is obtained with radius[radius < 1]:
(pi = length(radius[radius < 1]) / length(radius)) * 4     =    3.1272

Możemy wykreślić wartości mieszczące się w promieniu wśród 10 000 losowań:

I możemy naturalnie przybliżać się, wybierając więcej punktów. Z 1 milionem punktów otrzymujemy:

(pi = length(radius[radius < 1]) / length(radius)) * 4 [1] 3.141644

bardzo przybliżony wynik. Oto fabuła: