Szybkie indeksowanie kombinacji k

Powracam do starego problemu, nad którym pracowałem jakiś czas temu.

Typowy scenariusz to „3 bity są ustawione w 8-bitowej liczbie całkowitej”, tj. 00000111.

Wszystkie unikalne kombinacje z 3 bitami zestawu można łatwo wygenerować (w kolejności) za pomocą zagnieżdżonych pętli. Interesuje mnie kombinacja indeksu mapowania <->, tzn. „00001011” byłby drugą kombinacją (lub wartością „1” w indeksie zerowym).

Do tej pory przeglądałem wszystkie kombinacje i zapisywałem je w tabeli, dzięki czemu indeks wyszukiwania -> konwersacja to operacja O (1). Drugi kierunek to O (ln (n)) z wyszukiwaniem dwusiecznym.

Minusem jest jednak to, że to oczywiście obciąża pamięć, jeśli zwiększymy domenę, do tego stopnia, że ​​nie jest to możliwe.

Jaki byłby prosty sposób obliczenia n-tej kombinacji lub indeksu dla danej kombinacji? Kolejność kombinacji byłaby dobra, ale nie jest obowiązkowa.

Generowanie n-tej kombinacji nazywa się algorytmem „nierankingowym”. Zauważ, że permutacje i kombinacje często można utożsamiać ze sposobem parametryzacji problemu. Nie wiedząc dokładnie, na czym polega problem, trudno jest zalecić dokładne właściwe podejście, aw rzeczywistości w przypadku większości problemów kombinatorycznych zwykle istnieje kilka różnych algorytmów rankingu / nierankingowania.

Jednym z dobrych zasobów są „Algorytmy kombinatoryczne” autorstwa Krehera i Stinsona. Ta książka ma wiele dobrych algorytmów rankingowych i nierankingowych. Istnieją bardziej zaawansowane zasoby, ale polecam Krehera jako punkt wyjścia. Jako przykład algorytmu nierankingowego rozważ następujące kwestie:

/** PKSUL : permutation given its rank, the slots and the total number of items
 *  A combinatorial ranking is number of the permutation when sorted in lexicographical order
 *  Example:  given the set { 1, 2, 3, 4 } the ctItems is 4, if the slot count is 3 we have:
 *     1: 123    7: 213   13: 312   19: 412
 *     2: 124    8: 214   14: 314   20: 413
 *     3: 132    9: 231   15: 321   21: 421
 *     4: 134   10: 234   16: 324   22: 423
 *     5: 142   11: 241   17: 341   23: 431
 *     6: 143   12: 243   18: 342   24: 432
 *  From this we can see that the rank of { 2, 4, 1 } is 11, for example. To unrank the value of 11:
 *       unrank( 11 ) = { 11 % (slots - digit_place)!, unrank( remainder ) }
 * @param rank           the one-based rank of the permutation
 * @param ctItems        the total number of items in the set
 * @param ctSlots        the number of slots into which the permuations are generated
 * @param zOneBased      whether the permutation array is one-based or zero-based
 * @return               zero- or one-based array containing the permutation out of the set { ctItems, 1,...,ctItems }
 */
public static int[] pksul( final int rank, final int ctItems, final int ctSlots, boolean zOneBased ){
    if( ctSlots <= 0 || ctItems <= 0 || rank <= 0 ) return null;
    long iFactorial = factorial_long( ctItems - 1 ) / factorial_long( ctItems - ctSlots );
    int lenPermutation = zOneBased ? ctSlots + 1 : ctSlots;
    int[] permutation = new int[ lenPermutation ];
    int[] listItemsRemaining = new int[ ctItems + 1 ];
    for( int xItem = 1; xItem <= ctItems; xItem++ ) listItemsRemaining[xItem] = xItem; 
    int iRemainder = rank - 1;
    int xSlot = 1;
    while( true ){
        int iOrder = (int)( iRemainder / iFactorial ) + 1;
        iRemainder = (int)( iRemainder % iFactorial );
        int iPlaceValue = listItemsRemaining[ iOrder ];
        if( zOneBased ){
            permutation[xSlot] = iPlaceValue;
        } else {
            permutation[xSlot - 1] = iPlaceValue;
        }
        for( int xItem = iOrder; xItem < ctItems; xItem++ ) listItemsRemaining[xItem] = listItemsRemaining[xItem + 1]; // shift remaining items to the left
        if( xSlot == ctSlots ) break;
        iFactorial /= ( ctItems - xSlot );
        xSlot++;
    }
    if( zOneBased ) permutation[0] = ctSlots;
    return permutation;
}

Jest to nierankingowa permutacja, ale jak wspomniano powyżej, w wielu przypadkach można przekształcić kombinację nierankingową w równoważny problem permutacyjny.