Wydaje się, że do tej pory nie wspomniano o koncepcjach niestabilnego algorytmu i źle uwarunkowanego problemu . Najpierw zajmę się tym pierwszym, ponieważ wydaje się, że jest to częstsza pułapka dla początkujących numerycy.
Rozważ obliczenie mocy (wzajemności) złotego podziału φ=0.61803…
; jednym z możliwych sposobów jest skorzystanie z formuły rekurencyjnej φ^n=φ^(n-2)-φ^(n-1)
, zaczynając od φ^0=1
i φ^1=φ
. Jeśli uruchomisz tę rekurencję w swoim ulubionym środowisku komputerowym i porównasz wyniki z dokładnie oszacowanymi mocami, zauważysz powolną erozję znaczących liczb. Oto, co dzieje się na przykład w Mathematica :
ph = N[1/GoldenRatio];
Nest[Append[#1, #1[[-2]] - #1[[-1]]] & , {1, ph}, 50] - ph^Range[0, 51]
{0., 0., 1.1102230246251565*^-16, -5.551115123125783*^-17, 2.220446049250313*^-16,
-2.3592239273284576*^-16, 4.85722573273506*^-16, -7.147060721024445*^-16,
1.2073675392798577*^-15, -1.916869440954372*^-15, 3.1259717037102064*^-15,
-5.0411064211886014*^-15, 8.16837916750579*^-15, -1.3209051907825398*^-14,
2.1377864756200182*^-14, -3.458669982359108*^-14, 5.596472721011714*^-14,
-9.055131861349097*^-14, 1.465160458236081*^-13, -2.370673237795176*^-13,
3.835834102607072*^-13, -6.206507137114341*^-13, 1.004234127360273*^-12,
-1.6248848342954435*^-12, 2.6291189633497825*^-12, -4.254003796798193*^-12,
6.883122762265558*^-12, -1.1137126558640235*^-11, 1.8020249321541067*^-11,
-2.9157375879969544*^-11, 4.717762520172237*^-11, -7.633500108148015*^-11,
1.23512626283229*^-10, -1.9984762736468268*^-10, 3.233602536479646*^-10,
-5.232078810126407*^-10, 8.465681346606119*^-10, -1.3697760156732426*^-9,
2.216344150333856*^-9, -3.5861201660070964*^-9, 5.802464316340953*^-9,
-9.388584482348049*^-9, 1.5191048798689004*^-8, -2.457963328103705*^-8,
3.9770682079726053*^-8, -6.43503153607631*^-8, 1.0412099744048916*^-7,
-1.6847131280125227*^-7, 2.725923102417414*^-7, -4.4106362304299367*^-7,
7.136559332847351*^-7, -1.1547195563277288*^-6}
Podobny wynik dla φ^41
ma zły znak, a nawet wcześniej, obliczone i rzeczywiste wartości dla φ^39
udziału nie mają wspólnych cyfr ( 3.484899258054952
* ^ - 9 for the computed version against the true value
7.071019424062048 *^-9
). Algorytm jest więc niestabilny i nie należy używać tej formuły rekurencyjnej w niedokładnej arytmetyki. Wynika to z wrodzonej natury formuły rekurencyjnej: istnieje rozwiązanie „zanikające” i „rosnące” tej rekurencji i próbuje się obliczyć rozwiązanie „rozkładające się” według rozwiązania naprzód, gdy istnieje alternatywne rozwiązanie „rosnące” na smutek numeryczny. Należy zatem upewnić się, że jego / jej algorytmy numeryczne są stabilne.
Przejdźmy teraz do koncepcji źle uwarunkowanego problemu: chociaż może istnieć stabilny sposób zrobienia czegoś numerycznie, bardzo możliwe, że Twój problem nie może zostać rozwiązany przez algorytm. Jest to wina samego problemu, a nie metody rozwiązania. Kanonicznym przykładem numerycznym jest rozwiązanie równań liniowych obejmujących tak zwaną „macierz Hilberta”:
![Macierz Hilberta](https://i.stack.imgur.com/A3dMb.gif)
Matryca jest kanonicznym przykładem źle uwarunkowanej matrycy: próba rozwiązania układu za pomocą dużej matrycy Hilberta może zwrócić niedokładne rozwiązanie.
Oto demonstracja Mathematica : porównaj wyniki dokładnej arytmetyki
Table[LinearSolve[HilbertMatrix[n], HilbertMatrix[n].ConstantArray[1, n]], {n, 2, 12}]
{{1, 1}, {1, 1, 1}, {1, 1, 1, 1}, {1, 1, 1, 1, 1}, {1, 1, 1, 1, 1,
1}, {1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}, {1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}, {1, 1, 1, 1, 1,
1, 1, 1, 1}, {1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}, {1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,
1, 1, 1, 1}, {1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}}
i niedokładna arytmetyka
Table[LinearSolve[N[HilbertMatrix[n]], N[HilbertMatrix[n].ConstantArray[1, n]]], {n, 2, 12}]
{{1., 1.}, {1., 1., 1.}, {1., 1., 1., 1.}, {1., 1., 1., 1., 1.},
{1., 1., 1., 1., 1., 1.}, {1., 1., 1., 1., 1., 1., 1.},
{1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1.}, {1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1.},
{1., 1., 1., 0.99997, 1.00014, 0.999618, 1.00062, 0.9994, 1.00031,
0.999931}, {1., 1., 0.999995, 1.00006, 0.999658, 1.00122, 0.997327,
1.00367, 0.996932, 1.00143, 0.999717}, {1., 1., 0.999986, 1.00022,
0.998241, 1.00831, 0.975462, 1.0466, 0.94311, 1.04312, 0.981529,
1.00342}}
(Jeśli wypróbowałeś to w Mathematica , zauważysz kilka komunikatów o błędach ostrzegających o pojawieniu się złego warunkowania).
W obu przypadkach zwykłe zwiększenie precyzji nie jest lekarstwem; opóźni to nieuchronną erozję liczb.
Z tym możesz się spotkać. Rozwiązania mogą być trudne: po pierwsze albo wrócisz do deski kreślarskiej, albo przejrzysz czasopisma / książki / cokolwiek, aby znaleźć, czy ktoś wymyślił lepsze rozwiązanie niż ty; po drugie, albo poddajesz się, albo przeformułowujesz swój problem na coś łatwiejszego do rozwiązania.
Zostawię ci cytat z Dianne O'Leary:
Życie może rzucić nam kilka źle uwarunkowanych problemów, ale nie ma dobrego powodu, aby zadowolić się niestabilnym algorytmem.