Obliczasz szereg oscylacyjny z dużą precyzją?

Załóżmy, że mam następującą interesującą funkcję: Ma pewne nieprzyjemne właściwości, takie jak jego pochodna, która nie jest ciągła przy racjonalnych wielokrotnościach . Podejrzewam, że zamknięty formularz nie istnieje.

f (x) = \sum_{k \geq 1} \frac{\cos k x}{k^{2} (2 - \cos k x)} .

$f(x) = \sum_{k\geq1} \frac{\cos k x}{k^2(2-\cos kx)}.$

π

$\pi$

Mogę to obliczyć, obliczając sumy częściowe i używając ekstrapolacji Richardsona, ale problem polega na tym, że zbyt wolno jest obliczać funkcję z dużą liczbą cyfr dziesiętnych (na przykład 100 byłoby fajne).

Czy istnieje metoda, która lepiej poradzi sobie z tą funkcją?

Oto wykres z kilkoma artefaktami: $f'(\pi x)$

$Pochodna funkcji, $ f '(\ pi x) $$

convergence extrapolation

— Cyryl
źródło

Być może możesz użyć faktu, że , gdzie jest wielomianem . Następnie sumowanie zaczyna wyglądać jak seria racjonalnych wielomianów. Następnie, jeśli uda się przekształcić serię w racjonalny wielomian w oparciu o Czebiszewa, pozwoli to na bardzo skuteczny sposób podsumowania. Jeśli nie znasz wielomianów i podstaw Czebiszewa , Przepisy numeryczne w C mają dobry starter, a także: www2.maths.ox.ac.uk/chebfun/ATAP/ATAPfirst6chapters.pdf

c o s (k x) = T_{k} (x)

$cos(kx) = T_k(x)$

T_{k} (x)

$T_k(x)$

— Jay Lemmon

er, to powinno powiedzieć

c o s (k x) = T_{k} (c o s (x))

$cos(kx) = T_k(cos(x))$

— Jay Lemmon

@JayLemmon Dziękujemy za ten link. Zajrzę i zobaczę, czy to pomoże.

— Kirill

Dołączam do tej imprezy trochę później, ale czy próbowałeś użyć przybliżeń Padé, tj. Varepsilon -Algorytm zamiast ekstrapolacji Richardsona?

ε

$\varepsilon$

— Pedro

Analogicznie do przypadku całek silnie oscylacyjnych, nie sądzę, że będziesz w stanie wykonać dobrą robotę bez pewnej wiedzy na temat rozdziału części oscylacyjnych od nieoscylacyjnych. Jeśli masz takie rozdzielenie, odpowiedź z serii Fouriera zapewnia łatwą konwergencję wykładniczą.

— Geoffrey Irving

Odpowiedzi:

Jeśli techniki analityczne są niedozwolone, ale znana jest struktura okresowa, oto jedno podejście. Niech będzie okresowe z okresem , tak aby gdzie Tak więc Możesz albo zbliżyć całki bezpośrednio, albo obliczyć kilka

g (x) = \frac{\cos x}{2 - \cos x}

$g(x) = \frac{\cos x}{2-\cos x}$

2 π

$2 \pi$

g (x) = \sum_{j} w_{j} e^{i j x}

$g(x) = \sum_j w_j e^{ijx}$

w_{j} = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} g (x) e^{- i j x} d x

$w_j = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} g(x) e^{-ijx} dx$

\begin{aligned} f (x) & = \sum_{k \geq 1} \frac{g (k x)}{k^{p}} \\ = \sum_{k \geq 1} \frac{1}{k^{p}} \sum_{j} w_{j} e^{i j k x} \\ = \sum_{j} w_{j} \sum_{k \geq 1} \frac{{(e^{i j x})}^{k}}{k^{p}} \\ = \sum_{j} w_{j} {Li}_{p} (e^{i j x}) \end{aligned}

$\begin{aligned} f(x) &= \sum_{k \ge 1} \frac{g(kx)}{k^p} \\ &= \sum_{k \ge 1} \frac{1}{k^p} \sum_j w_j e^{ijkx} \\ &= \sum_j w_j \sum_{k \ge 1} \frac{\left(e^{ijx}\right)^k}{k^p} \\ &= \sum_j w_j \operatorname{Li}_p(e^{ijx}) \end{aligned}$

w_{j}

$w_j$

f (x)

$f(x)$ wartości i użyj DFT. W obu przypadkach można potencjalnie zastosować ekstrapolację Richardsona do wyniku. Ponieważ w twoim przypadku jest analityczne w sąsiedztwie , końcowa seria zbiega się wykładniczo nawet bez Richardsona.

g (x)

$g(x)$

R

$\mathbb{R}$

— Geoffrey Irving
źródło

Zakładam, że masz na myśli ?

g (x) = \cos (x) / (2 - \cos (x))

$g(x) = \cos(x) / (2 - \cos(x))$

— Geoff Oxberry

Dla ze liczbą całkowitą mamy gdzie jest funkcją trygammy ( http://en.wikipedia.org/wiki/Polygamma ). Oto wykresy funkcji i jej pochodnej z usuniętymi artefaktami: $x = 2\pi a/b$ $a,b$

\begin{aligned} f (x) & = \sum_{k \geq 1} \frac{\cos k x}{k^{2} (2 - \cos k x)} \\ = \sum_{k = 1}^{b} \frac{\cos k x}{2 - \cos k x} \sum_{n \geq 0} \frac{1}{(k + b n)^{2}} \\ = \sum_{k = 1}^{b} \frac{\cos k x}{2 - \cos k x} \frac{ψ^{1} (k / b)}{b^{2}} \end{aligned}

$\begin{aligned} f(x) &= \sum_{k \ge 1} \frac{\cos {kx}}{k^2 (2 - \cos {kx})} \\ &= \sum_{k=1}^b \frac{\cos {kx}}{2-\cos {kx}} \sum_{n \ge 0} \frac{1}{(k+bn)^2} \\ &= \sum_{k=1}^b \frac{\cos {kx}}{2-\cos {kx}} \frac{\psi^1(k/b)}{b^2} \end{aligned}$

ψ^{1} (z)

$\psi^1(z)$ Wartości i pochodne dla serii

— Geoffrey Irving
źródło

Dziękuję Ci. Problem polega na tym, że wybrałem tę konkretną funkcję jako model innej, bardziej skomplikowanej funkcji, którą tak naprawdę chciałem ocenić, mając podobne cechy, ale w rzeczywistości nie takie same. Znam zamknięty formularz z tego pytania na MSE . Miałem na myśli to pytanie o sumowanie nieskończonej serii numerycznie bez formy zamkniętej.

— Kirill

Może moja inna odpowiedź jest lepsza?

— Geoffrey Irving

Co powiesz na transformację u Levina ? Oprócz kodów Fortan istnieje kilka wersji w GSL : `gsl_sum_levin_u * ' . MuPAD i Maple Matlaba używają tego schematu.

— horchler
źródło

Próbowałem, ale ekstrapolacja Richardsona była dokładniejsza.

— Kirill